Camins geomètrics i matolls
Mentre escrivia aquest article, vaig recordar una cançó molt antiga de Jan Pietrzak, que cantava abans de la seva activitat satírica al cabaret Pod Egidą, reconegut a la República Popular de Polònia com a vàlvula de seguretat; hom podria riure sincerament de les paradoxes del sistema. En aquesta cançó, l'autor recomanava la participació política socialista, ridiculitzant els que volen ser apolítics i apagant la ràdio al diari. "És millor tornar a l'escola llegint", va cantar irònicament Petshak, de XNUMX anys.
Torno a l'escola llegint. Estic rellegint (no és la primera vegada) el llibre de Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Per a pocs lectors, la paraula mateixa diu alguna cosa. Aquest és el nom de la filla del famós matemàtic hindú conegut com Bhaskara (1114-1185), anomenat Akaria, o el savi que va titular el seu llibre d'àlgebra amb aquest nom. Més tard, Lilavati es va convertir en una matemàtica i filòsofa reconeguda. Segons altres fonts, va ser ella mateixa qui va escriure el llibre.
Szczepan Yelensky va donar el mateix títol al seu llibre sobre matemàtiques (primera edició, 1926). Fins i tot pot ser difícil anomenar aquest llibre un treball matemàtic: era més aviat un conjunt de trencaclosques, i en gran part reescrit a partir de fonts franceses (els drets d'autor en el sentit modern no existien). En qualsevol cas, durant molts anys va ser l'únic llibre popular polonès sobre matemàtiques; més tard s'hi va afegir el segon llibre de Jelensky, Els dolços de Pythagoras. Així que els joves interessats en les matemàtiques (que és exactament el que vaig ser una vegada) no tenien res per triar...
en canvi, "Lilavati" s'havia de saber quasi de memòria... Ah, hi va haver moments... El seu major avantatge era que jo era... llavors un adolescent. Avui, des del punt de vista d'un matemàtic ben educat, miro a Lilavati d'una manera completament diferent, potser com un escalador als revolts del camí cap a Shpiglasova Pshelench. Ni l'un ni l'altre perden el seu encant... En el seu estil característic, Shchepan Yelensky, que professa les anomenades idees nacionals a la seva vida personal, escriu al prefaci:
Sense tocar la descripció de les característiques nacionals, diré que fins i tot després de noranta anys, les paraules de Yelensky sobre les matemàtiques no han perdut la seva rellevància. Les matemàtiques t'ensenyen a pensar. És un fet. Et podem ensenyar a pensar de manera diferent, més senzilla i més bella? Pot ser. És que... encara no podem. Explico als meus alumnes que no volen fer matemàtiques que això també és una prova de la seva intel·ligència. Si no pots aprendre una teoria matemàtica realment senzilla, aleshores... potser les teves habilitats mentals són pitjors del que voldríem tots dos...?
Senyals a la sorra
I aquí teniu la primera història de "Lylavati", una història descrita pel filòsof francès Joseph de Maistre (1753-1821).
Un mariner d'un vaixell naufragat va ser llançat per les onades a una costa buida, que considerava deshabitada. De sobte, a la sorra de la costa, va veure un rastre d'una figura geomètrica dibuixada davant d'algú. Va ser llavors quan es va adonar que l'illa no està deserta!
Citant a Mestri, Yelensky escriu: figura geomètricahauria estat una expressió muda per al desgraciat, nàufrag, casualitat, però li va mostrar a simple vista proporció i nombre, i això va anunciar un home il·lustrat. Tant per la història.
Tingueu en compte que un mariner provocarà la mateixa reacció, per exemple, dibuixant la lletra K, ... i qualsevol altre rastre de la presència d'una persona. Aquí la geometria està idealitzada.
Tanmateix, l'astrònom Camille Flammarion (1847-1925) va proposar que les civilitzacions es saludessin des de la distància utilitzant la geometria. Va veure en això l'únic intent de comunicació correcte i possible. Ensenyem a aquests marcians els triangles pitagòrics... ells ens respondran amb Tales, nosaltres els respondrem amb patrons de Vieta, el seu cercle encaixarà en un triangle, així va començar una amistat...
Escriptors com Jules Verne i Stanislav Lem van tornar a aquesta idea. I l'any 1972, es van col·locar rajoles amb patrons geomètrics (i no només) a bord de la sonda Pioneer, que encara travessa les extensions de l'espai, ara a gairebé 140 unitats astronòmiques de nosaltres (1 I és la distància mitjana de la Terra a la Terra) . Sol, és a dir, uns 149 milions de km). La rajola va ser dissenyada, en part, per l'astrònom Frank Drake, creador de la controvertida regla sobre el nombre de civilitzacions extraterrestres.
La geometria és increïble. Tots coneixem el punt de vista general sobre l'origen d'aquesta ciència. Nosaltres (els humans) acabem de començar a mesurar la terra (i més tard la terra) amb els propòsits més utilitaris. Determinar distàncies, dibuixar línies rectes, marcar angles rectes i calcular volums a poc a poc es va convertir en una necessitat. D'aquí tot plegat geometria ("Mesura de la terra"), d'aquí totes les matemàtiques...
No obstant això, durant algun temps aquesta imatge clara de la història de la ciència ens va enfosquir. Perquè si les matemàtiques fossin necessàries únicament per a propòsits operatius, no ens dedicaríem a demostrar teoremes simples. "Veu que això hauria de ser cert", diria un després de comprovar que en diversos triangles rectangles la suma dels quadrats de les hipotenuses és igual al quadrat de la hipotenusa. Per què aquest formalisme?
El pastís de prunes ha de ser deliciós, el programa informàtic ha de funcionar, la màquina ha de funcionar. Si he comptat la capacitat del barril trenta vegades i tot està en ordre, per què sinó?
Mentrestant, als antics grecs se'ls va ocórrer que calia trobar alguna evidència formal.
Així doncs, les matemàtiques comencen amb Tales (625-547 aC). Se suposa que va ser Milet qui va començar a preguntar-se per què. No n'hi ha prou amb les persones intel·ligents que hagin vist alguna cosa, que estiguin convençudes d'alguna cosa. Van veure la necessitat de la prova, una seqüència lògica d'arguments des de la suposició fins a la tesi.
També en volien més. Probablement va ser Tales qui primer va intentar explicar els fenòmens físics d'una manera naturalista, sense intervenció divina. La filosofia europea va començar amb la filosofia de la natura, amb el que ja hi ha darrere de la física (d'aquí el nom: metafísica). Però les bases de l'ontologia europea i de la filosofia natural les van posar els pitagòrics (Pitàgores, c. 580-c. 500 aC).
Va fundar la seva pròpia escola a Crotone, al sud de la península dels Apenins, avui en diríem una secta. La ciència (en el sentit actual de la paraula), el misticisme, la religió i la fantasia estan estretament entrellaçats. Thomas Mann va presentar molt bellament les lliçons de matemàtiques en un gimnàs alemany a la novel·la Doctor Faust. Traduït per Maria Kuretskaya i Witold Virpsha, aquest fragment diu:
A l'interessant llibre de Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, vaig trobar un punt de vista molt interessant. En un dels capítols l'autor descriu la importància de l'escola pitagòrica. El mateix títol del capítol em va sorprendre. Hi diu: "Invenció de les matemàtiques: els pitagòrics".
Sovint discutim si s'estan descobrint teories matemàtiques (p. ex. terres desconegudes) o s'inventen (p. ex. màquines que no existien abans). Alguns matemàtics creatius es veuen a si mateixos com a investigadors, d'altres com a inventors o dissenyadors, menys sovint com a comptadors.
Però l'autor d'aquest llibre escriu sobre la invenció de les matemàtiques en general.
De l'exageració a l'engany
Després d'aquesta llarga part introductòria, passaré al principi. geometriaper descriure com una dependència excessiva de la geometria pot enganyar un científic. Johannes Kepler és conegut en física i astronomia com el descobridor de les tres lleis del moviment dels cossos celestes. En primer lloc, cada planeta del sistema solar es mou al voltant del sol en una òrbita el·líptica, amb el sol en un dels seus focus. En segon lloc, a intervals regulars el raig principal del planeta, extret del Sol, dibuixa camps iguals. En tercer lloc, la relació entre el quadrat del període de revolució d'un planeta al voltant del Sol i el cub del semieix major de la seva òrbita (és a dir, la distància mitjana del Sol) és constant per a tots els planetes del sistema solar.
Potser aquesta va ser la tercera llei: necessitava moltes dades i càlculs per establir-la, cosa que va impulsar Kepler a continuar buscant patrons en el moviment i la posició dels planetes. La història del seu nou “descobriment” és molt instructiva. Des de l'antiguitat, hem admirat no només els poliedres regulars, sinó també els arguments que demostren que només n'hi ha cinc a l'espai. Un políedre tridimensional s'anomena regular si les seves cares són polígons regulars idèntics i cada vèrtex té el mateix nombre d'arestes. A títol il·lustratiu, cada cantonada d'un poliedre regular ha de "ser igual". El poliedre més famós és el cub. Tothom ha vist un turmell normal.
El tetraedre regular és menys conegut, i a l'escola s'anomena piràmide triangular regular. Sembla una piràmide. Els tres poliedres regulars restants són menys coneguts. Un octaedre es forma quan connectem els centres de les arestes d'un cub. El dodecaedre i l'icosaedre ja semblen boles. Fets amb pell suau, serien còmodes d'excavar. L'argument que no hi ha poliedres regulars a part dels cinc sòlids platònics és molt bo. En primer lloc, ens adonem que si el cos és regular, llavors el mateix nombre (sigui q) de polígons regulars idèntics ha de convergir en cada vèrtex, siguen aquests p-angles. Ara hem de recordar quin és l'angle en un polígon regular. Si algú no recorda l'escola, us recordem com trobar el patró adequat. Vam fer un viatge a la volta de la cantonada. A cada vèrtex girem pel mateix angle a. Quan donem la volta al polígon i tornem al punt de partida, hem fet p aquests girs, i en total hem girat 360 graus.
Però α és un complement de 180 graus de l'angle que volem calcular i, per tant, ho és
Hem trobat la fórmula de l'angle (un matemàtic diria: les mesures d'un angle) d'un polígon regular. Comprovem: en el triangle p = 3, no hi ha a
Com això. Quan p = 4 (quadrat), aleshores
graus també està bé.
Què aconseguim per un pentàgon? Què passa, doncs, quan hi ha q polígons, cada p amb els mateixos angles
graus descendint en un vèrtex? Si estigués en un pla, es formaria un angle
graus i no pot ser superior a 360 graus, perquè aleshores els polígons se superposen.
Tanmateix, com que aquests polígons es troben a l'espai, l'angle ha de ser menor que l'angle complet.
I aquesta és la desigualtat de la qual es desprèn tot:
Divideix-ho per 180, multiplica les dues parts per p, ordena (p-2) (q-2) < 4. Què segueix? Tinguem en compte que p i q han de ser nombres naturals i que p > 2 (per què? I què és p?) i també q > 2. No hi ha moltes maneres de fer que el producte de dos nombres naturals sigui inferior a 4. els enumeraré tots a la taula 1.
No penjo dibuixos, tothom pot veure aquestes figures a Internet... A Internet... No em negaré a una digressió lírica -potser és interessant per als lectors joves. L'any 1970 vaig parlar en un seminari. El tema era difícil. Vaig tenir poc temps per preparar-me, em vaig asseure al vespre. L'article principal era de només lectura al seu lloc. El lloc era acollidor, amb un ambient de treball, bé, tancava a les set. Aleshores, la núvia (ara la meva dona) es va oferir a reescriure l'article sencer per a mi: una dotzena de pàgines impreses. El vaig copiar (no, no amb bolígraf, fins i tot teníem bolígrafs), la conferència va ser un èxit. Avui he intentat trobar aquesta publicació, que ja és antiga. Només recordo el nom de l'autor... Les cerques a Internet van durar molt... uns quinze minuts. Ho penso amb un somriure i una mica de penediment injustificat.
Tornem a Keplera i geometria. Pel que sembla, Plató va predir l'existència de la cinquena forma regular perquè li faltava alguna cosa unificadora, que cobria tot el món. Potser per això va dir a un estudiant (Theajtet) que la busqués. Tal com va ser, així va ser, sobre la base del qual es va descobrir el dodecaedre. A aquesta actitud de Plató anomenem panteisme. Tots els científics, fins a Newton, hi van sucumbir en major o menor mesura. Des del segle XVIII, molt racional, la seva influència ha disminuït dràsticament, tot i que no ens hem d'avergonyir que tots hi sucumbirem d'una manera o altra.
En el concepte de Kepler de construir el sistema solar, tot era correcte, les dades experimentals coincidien amb la teoria, la teoria era lògicament coherent, molt bonica... però completament falsa. En el seu temps només es coneixien sis planetes: Mercuri, Venus, la Terra, Mart, Júpiter i Saturn. Per què només hi ha sis planetes? va preguntar Kepler. I quina regularitat determina la seva distància al Sol? Va suposar que tot estava connectat, això geometria i cosmogonia estan estretament relacionades entre si. A partir dels escrits dels antics grecs, sabia que només hi havia cinc poliedres regulars. Va veure que hi havia cinc buits entre les sis òrbites. Aleshores, potser cadascun d'aquests espais lliures correspon a algun poliedre regular?
Després de diversos anys d'observació i treball teòric, va crear la següent teoria, amb l'ajuda de la qual va calcular amb força precisió les dimensions de les òrbites, que va presentar al llibre "Mysterium Cosmographicum", publicat el 1596: Imagineu una esfera gegant, el diàmetre del qual és el diàmetre de l'òrbita de Mercuri en el seu moviment anual al voltant del sol. Aleshores, imagineu-vos que en aquesta esfera hi ha un octàedre regular, una esfera, un icosaedre, una altra vegada una esfera, un dodecaedre, una altra esfera, un tetraedre, una altra vegada una esfera, un cub. i, finalment, en aquest cub es descriu la pilota.
Kepler va concloure que els diàmetres d'aquestes successives esferes eren els diàmetres de les òrbites d'altres planetes: Mercuri, Venus, la Terra, Mart, Júpiter i Saturn. La teoria semblava molt encertada. Malauradament, això va coincidir amb les dades experimentals. I quina millor prova de la correcció d'una teoria matemàtica que la seva correspondència amb dades experimentals o observacionals, especialment "pres del cel"? Resumeixo aquests càlculs a la taula 2. Què va fer Kepler? Vaig provar i provar fins que va funcionar, és a dir, quan la configuració (ordre de les esferes) i els càlculs resultants van coincidir amb les dades d'observació. Aquí hi ha xifres i càlculs de Kepler moderns:
Es pot sucumbir a la fascinació de la teoria i creure que les mesures al cel són inexactes, i no càlculs fets en el silenci d'un taller. Malauradament, avui sabem que hi ha almenys nou planetes i que totes les coincidències de resultats són només una coincidència. Llàstima. Era tan bonic...
