Com enganyar, manipular i presentar-se sota una llum favorable a la grandesa de les matemàtiques?

A principis de novembre de 2020, Mateusz Morawiecki va referir-se als matemàtics del Centre de Modelització Matemàtica que van demostrar que la vaga de dones va provocar un augment de les infeccions en 5000. Tinc amics en aquest centre; només van saber que ho havien predit per un discurs del Sr. - a Mateusz.

Voldria remarcar que, potser al contrari del títol de l'article, no lloaré ni criticaré l'actual primer ministre. penso que matemàtiques no és el seu fort, però aquesta deficiència intel·lectual no suscitarà objeccions a la majoria de vosaltres. I en general, un gran matemàtic no estaria en una posició responsable, però no savi en la vida i en la política? També esmentaré que Donald Tusk, en la seva antiga campanya presidencial, va dir (com si fos en broma): "no pots escriure exàmens de matemàtiques sense descarregar-te". Ja saps, el núvol de matemàtiques és el teu home, igual que jo. Julian Tuwim era esnob sobre la seva ignorància de les matemàtiques. I em van trucar a la junta. Només assenyalaré que vam tenir una estrena de matemàtiques a Polònia. Va ser (cinc vegades) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rector de la Politècnica de Lviv, un excel·lent geòmetre. No puc ni intento jutjar el seu regnat.

Netejar la boca és versàtil i vell. Sobre això s'han escrit llibres, prims i gruixuts. Hi ha moltes maneres, en parlaré d'algunes, començaré per les que estan cosides amb fils gruixuts. Potser en el passat hi havia encara més mètodes d'aquest tipus, perquè en el monumental i primer d'aquest tipus Diccionari de la llengua polonesa Samuel Bogumil Linde (publicat el 1807-1814) llegim:

Matemàtic, matemàtic matemàtic, malabarista matemàtic.

No coneixem les accions més senzilles, i realment volem demostrar-nos. Fa uns anys, un periodista d'Olsztyn va escriure una llarga exposició sobre com els fabricants ens estan enganyant. Per exemple: en un paquet de mantega hi diu "contingut de greix 85 per cent": és un 85 per cent en un cub o en un quilogram? Tota Polònia va xiular. Però només els professors intel·ligents de matemàtiques (és a dir, tots els professors de matemàtiques!) van notar un error en el raonament d'un dels nostres antics primers ministres, Kazimir Martsinkevich, fa molts anys. Canviaré una mica els números perquè sigui més fàcil de veure. Va dir alguna cosa com això: ens vam gastar 150 milions de zlotys en la construcció de carreteres, i vam rebre 50 milions de Brussel·les, així que només en gastarem 100. Ens vam estalviar un 50 per cent. Bé, 50/100 és el 50 per cent. On és l'error? I si tinguéssim 100 milions, quant estalviaríem? L'error és subtil. Parlant de percentatges, és important aclarir d'on els traiem. Aquest és un error molt comú que cometen els professors. Diuen que un percentatge és una centèsima part. Això no està permès! Al cent per cent, però sempre és alguna cosa. Si gastem 150 i gastem 100, en estalviem 50 de 150, que és un 33%. El primer ministre Martsinkevich era professor de física. O era un professor tan dolent que no entenia els percentatges, o els manipulava deliberadament per obtenir el millor efecte polític. De fet, preferiria el segon. Permeteu-me que us recordi una anècdota molt antiga d'abans de la guerra. "Pare, avui m'he estalviat 20 cèntims!" "Està molt bé, fill! Com? "No vaig anar amb el tramvia a l'escola, el vaig córrer darrere!" "Ah, fill, corre per segona vegada a prendre un taxi: t'estalviaràs 5 zlotys!"

Idees, idees! La majoria de les idees de l'anomenada comptabilitat creativa es basen en llacunes legals (llei escrita al genoll = merda) i s'allunyen de la noció de mitjana. Aquí teniu un exemple: com es pot augmentar el salari de tothom mentre es rebaixa el salari mitjà? Senzill: donar un petit augment als que ja estan treballant i, en fer-ho, contractar molta gent mal pagada. La mitjana caurà... i en el context de la massa salarial global, estava fora de dubte. Suposadament, fins al 1989, un determinat director d'una empresa estatal es va comportar d'aquesta manera.

Pots lluitar directament, utilitzant l'analfabetisme matemàtic de molts cercles de la societat i combinant les matemàtiques (??) amb la literatura (??). Aquí teniu un text demagògic però de ficció (encara que basat en una publicació real, abans del 2010 per a l'atenció).

Les infermeres estaran millor. Fa dos anys, el salari net mitjà d'una infermera al comtat de Sochaczew era de 1500 PLN. L'any passat, el govern va augmentar la despesa en sanitat en mig mil milions de zlotys. Això serà el doble que en anys anteriors. Hermenegilda Kotsyubinskaya, una infermera de l'Hospital Clínic Central, diu: el mes passat el meu sou era de 4500 PLN. Això significa un augment enorme i triple dels ingressos de la sanitat.

Hi ha algú a qui enganyar? Encara que els números siguin els mateixos, aquí podeu veure el que estem comparant. salari mitjà a l'hospital provincial amb el sou d'una persona en un mes determinat. Potser l'Hermenegilda és la cap de les infermeres, potser aquest mes ha tingut molts torns extra i, a més, el CRH té una escala salarial especial? A més, els esmentats 1500 PLN són salaris nets i no s'especifica si el sou de la Sra. Kociubinska és net o brut. Mig mil milions és una quantitat enorme per a un individu, però què significa a nivell nacional? Observem de seguida que "mig mil milions" sona millor propaganda que "500 milions". No s'informa a quins 500 milions de zlotys van anar. No se sap per què 500 milions de PLN el doble.

Com puc millorar els meus resultats d'aprenentatge? L'escola X és criticada per les autoritats educatives pels resultats educatius deficients (és a dir, un GPA baix, tot i que són coses diferents!). El director troba una manera de millorar una mica les coses. Transfereix diversos alumnes de la classe A a la classe B i aconsegueix el seu objectiu: la nota mitjana de les dues classes ha augmentat.

Com és possible? Si hi ha un estudiant a la classe A el GPA del qual és inferior a la mitjana de la classe A, però superior a la mitjana de la classe C, traslladar-lo a la classe B tindrà el mateix efecte. La fe es basa en aquest efecte La pesta de Mechislav i Leshek Mazan, autors de l'"Enciclopèdia Gallega" (editorial "Anabasis", Cracòvia), que el dia en què Segismundo III Vasa i la seva cort es van traslladar a Varsòvia, el nivell mitjà d'intel·ligència va augmentar en ambdues ciutats.

Tenim tendència a interpretar les dades. Aquest és el tram no elemental més comú. Començaré per l'exemple més estúpid, però fiable. Fa molts, molts anys, l'ara desaparegut Express Wieczorny va informar que el salari mitjà a la Universitat de Varsòvia seria de 15000 24 złoty (aleshores złoty). El rector havia de rebre el sou més alt, 6, l'assistent novell més baix, 15. Mitjana XNUMX!!! manipulació el concepte de mitjana és un tema d'habilitació.

Aquí teniu dos exemples més. Saps que la persona mitjana a Polònia té menys de dues cames? Doncs sí: hi ha qui en té un, però ningú en té tres! El segon exemple és més subtil. Bé, la meva dona i jo tenim els nostres propis cotxes. El meu transportista consumeix molt de combustible, 12,5 litres per cada 100 km. Això vol dir que per a 100 km necessito 8 litres. La meva dona té un Mitsubishi petit: consumeix 8 litres per cada 100 km. Això també és molt, però perquè els càlculs siguin senzills, les dades s'han de processar una mica. Sovint passem pel mateix. Per tant, el consum mitjà de combustible dels nostres dos cotxes és la mitjana aritmètica de 8 i 12,5. Sumar, dividir per 2. En resulten 10,25 litres. Per descomptat, és important que sovint passem pel mateix camí. Llavors, on és l'àmbit de la manipulació?

Oh, aquí. Sabíeu que el consum de combustible dels EUA es calcula de manera diferent? Ells respondran: "Jo condueixo tantes milles des d'un galó". Deixem la conversió de galons a litres i de milles a quilòmetres, però apliquem-la als cotxes esmentats: el meu i la Junta de Revisió Única de Our Marriage. Només conduiré 8 km per litre (100 dividit per 12,5), la meva dona 12,5 km (100 dividit per 8). De mitjana, un litre ens portarà... la mitjana aritmètica d'aquestes xifres. Això ja ho hem calculat una vegada. Resulta que són 10 i quart, aquesta vegada 10,25 quilòmetres.

Tornem als estàndards europeus. Si condueixo 10,25 km amb un litre, quants litres necessites per a 100? Prenem una calculadora: 100 dividit per 10,25 és ... 9,76. El consum mitjà dels nostres cotxes és de 9,76... i abans era de 10,25. On és l'error? No! De fet, no en matemàtiques, sinó en la interpretació de les paraules "viatgem amb la mateixa freqüència". Una anàlisi acurada mostrarà que en la primera interpretació això significa "conduïm el mateix nombre de quilòmetres al mes", i en la segona "utilitzem la mateixa quantitat de gasolina". Es podria afegir una tercera variable: passem el mateix temps conduint (la dona condueix molt més ràpid)... i seria diferent. Si estem mesurant alguna cosa, hem de tenir una cinta mètrica.

situacions més subtils. La paradoxa de Simpson. Explorem què és millor per eliminar la caspa: Coca-Cola o Pepsi-Cola. Fem proves en dones i homes. Aquí teniu les dades. Gairebé tots els càlculs es poden fer a la memòria.

Si us plau, lector, seure. Només per no caure del sentiment. Quina és la millor beguda per eliminar la caspa en els homes? He marcat els números més grans en vermell i els més petits amb blau. 25 és més que 20, oi? Senyors: compreu Coca-Cola per a la caspa! Què passa amb les dones? Probablement al revés? No, 60> 53. Senyores, prengueu una Coca-Cola.

L'empresa compra anuncis a la televisió, on una parella feliç (a l'antiga manera: un home i una dona) s'allunya d'aquesta dolència lleu amb l'ajuda de Coca-Cola. Però hi ha un anunci de Pepsi. Bé, perquè hi havia 250 persones a la prova tant aquí com aquí, la qual cosa vol dir que estaven repartides per igual. Coca-Cola va ajudar a 80 persones (32%), Pepsi va ajudar a 100 persones, el 40%. A la pantalla, la multitud s'escapa de la caspa mentre una llauna de Pepsi roda davant de la càmera. "La nostra generació ja ha triat!"

On és l'error? No. Vull dir, les matemàtiques estan bé. O més aviat només aritmètica. Per ser matemàticament correctes, hem de prendre mostres comparables amb la mateixa proporció de M que K. En cas contrari, els càlculs no tenen sentit, com si estiguéssim calculant el pes mitjà d'un mosquit i d'un elefant. Podem sumar i dividir per dos. Què hem calculat? Bé, el pes mitjà d'un mosquit i un elefant. Què ens donarà? Un fil.

Però portem-ho a la política, als EUA, és clar. Els partidaris d'un dels candidats, diuen Bump, plorarien: som millors tant per a senyores com per a senyors. Vota per Jozef Podskok! Els seguidors de Triden escriurien a les pancartes: Som els millors del món. Vota ànec amb 3 caus (Donald).

D'acord, com és realment? Aquesta és la part més difícil. Què vol dir "realment"? Podem dir: "Veritat és allò que concorda amb la realitat". Tanmateix, sorgeix una altra pregunta: com mesurar la "correspondència a la realitat"? Però això ja no són matemàtiques, i m'agradaria seguir-hi, perquè només aquí em sento segur.

Sobre aquesta paradoxa (anomenada La paradoxa dels Simpson) es basa en molts, molts altres. Es coneix en matemàtiques des de fa cent anys, però (relativament) fa poc les ciències socials s'hi han interessat. Tot va començar amb el fet que en una de les universitats americanes el rector va notar que les noies eren molt menys acceptades que els nois. Va demanar informes als degans... i va resultar que a totes les facultats la proporció d'admesos a candidats era més alta per a les noies que per als nois -i tot el contrari. Recomano al lector que reformula l'exemple de Pepsi i Coca-Cola a la situació dels departaments universitaris.

Una situació encara més subtil. Tothom al món matemàtic coneix l'"exemple de Nebraska". En algun lloc de Nebraska una botiga va ser saquejada i una caixa registradora va ser robada. Els testimonis només recordaven que ho feia una parella estranya: un home de pell fosca amb barba i una dona de trets orientals. Van marxar (els pneumàtics xisclaven com a la pel·lícula) amb un Toyota groc. Unes hores més tard, la policia va detenir... un Toyota groc, en el qual hi havia un afroamericà amb barba, acompanyat d'una dona asiàtica. "Ets tu!". Manilles, cort. Un matemàtic experimentat va calcular que aquest conjunt (negre + asiàtic + groc Toyota) és tan únic que es busca el 99,999% dels lladres. Va llançar termes memoritzats a la sala: esdeveniments elementals, diagrama de Bernoulli, conjunció. La parella va anar a seure. Tanmateix, van contractar el millor matemàtic, que va dir en una crida: “Bé. Jutgeu per vosaltres mateixos, el meu predecessor va calcular que la probabilitat que un cotxe trobat a l'atzar amb dos passatgers sigui un Toyota groc amb un de negre i una dona japonesa és tal i tal. Però aquí hem de resoldre un altre problema, la probabilitat condicional. Quina és la probabilitat de trobar-se amb una altra parella (o tres, si encengueu la màquina), si sabem que ja existeix. »

No sabem si el jutge va entendre algun dels arguments. Potser només que la resposta depèn de l'elecció de la situació. Amb això n'hi havia prou. Va anul·lar la sentència.

Un cop al cap amb un pal. Sempre hem tractat aquesta demagògia (1).

Els bars són terribles: els preus del carbó s'han duplicat. Mirar les xifres és tranquil·litzador: de fet, han passat de 161 PLN per tona a 169 PLN (exercici: en quin percentatge?). Però com que la majoria de les persones aprenen visualment, recordaran el gràfic, no els números. Sense entrar en discussions polítiques, he de dir que el govern va utilitzar un mètode similar (el de l'estiu del 2020), imaginant un augment de la despesa en càncer. Això no és una crítica a aquest govern. El següent també utilitzarà aquest mètode. És segur i dóna un efecte immediat ("vist").

Portem mascaretes. Les lleis de propagació de les epidèmies són simples i "en si mateixes" inexorables. El nombre de persones infectades creix més ràpidament, com més n'hi ha. Així va l'allau. Això és el que diuen les matemàtiques. Hi ha, però, un gran "però" - potser més d'un. En primer lloc, és així, mentre "no passa res". Quan s'atura l'allau al bosc, quan l'epidèmia es frena pel comportament savi de tots nosaltres, aleshores no "agrairem" tant les matemàtiques com crearem un model diferent. Sí, un model matemàtic diferent (com a l'exemple del robatori a la botiga de Nebraska). Les matemàtiques, una ciència preciosa, només ajuden a entendre el món. Tants, però només tants. A veure: saltem quasi sis metres amb un pal, sense ell no podem saltar ni 2,50. Després agafa el pal a la mà i salta. És una molèstia, oi?

l'ús de matemàtiques a les ciències socials és difícil, perillós i, pitjor, temptador. Els coneixedors dels Tatras l'associen amb el barranc de Drege: una baixada suau i herbosa des de Garnets fins a Chyorny Stav... Així es veu des de dalt. Aviat el barranc es converteix en una trampa de la qual només TOPR, el Servei de Rescat Voluntari de Tatra, ens pot salvar.

Els matemàtics anomenen aquest augment de les allaus i les epidèmies creixement exponencial. Com ja he escrit, aquest creixement es pot suprimir, però no de nou. Tanmateix, mirem dos diagrames de la mateixa corba (només a una escala diferent). Qui ho entendrà, dono la fórmula d'aquesta funció: y = 2^xdos al poder. Si us plau, mireu els gràfics. Des de quin punt es produeix la ràpida acceleració del creixement? Tothom indicarà: està més o menys a prop del punt marcat amb un punt gran. Però al primer gràfic aquest valor és proper a 1,5, al segon és més de 3 i al tercer és 4,5. Si hi ha una mena de manifestacions al carrer aleshores podem dir: si us plau, des del moment de la manifestació, la corba va pujar, va pujar fort. A la glòria de les matemàtiques! I aquesta és només una propietat de la corba exponencial. L'escala i el punt corresponents des del qual comença l'acceleració ràpida es poden escollir lliurement (2).

Eleccions presidencials... als EUA, és clar. Encara recordem la farsa del novembre del 2020. El país, que encara és la primera potència, no ha fet front al recompte de pàgines. Al final va resultar que Joe Biden no només va guanyar més vots electorals, sinó que hauria guanyat si la decisió s'hagués pres per majoria simple. En la situació que descriuré, no hi ha manipulació matemàtica, només un exemple de com el resultat de les eleccions pot dependre de la resolució adoptada. Si ho saps, és difícil protestar. Un defensor del futbol pot considerar que la prohibició d'handbol és incorrecta, però si s'ignora, s'atorgarà un penal.

Imagineu que els següents candidats a la presidència de Grècia: Apol·loni, Euclides, Garsa, Pitàgores i Tal. Qui escollii els votants es convertirà en president. N'hi ha 100. Van ser elegits per votació popular, i després els partits representats al Parlament, és a dir, el Circ Màxim, van establir l'ordre de les seves preferències. Alguna cosa no funciona perquè Circus Maximus és un nom llatí, no grec. Però no discutim amb les fonts.

Qui serà president? A veure com depèn de l'ordenació. Les preferències del partit s'han d'entendre de manera que els seus electors voten per la primera persona de la llista que queda a les eleccions després de la següent volta.

Si la sentència estableix que guanya el candidat que posa més votants en primer lloc, guanyarà Pitàgores, perquè serà elegit per 25 + 9 = 34 votants. Això és el que passa a l'escola quan triem, per exemple, el millor alumne. Al nostre lloc: Pitàgores és elegit pel poble!
A les eleccions presidencials modernes, el sistema de segona volta s'utilitza més sovint. Votem un candidat, però si cap d'ells supera el 50 per cent, es fa una segona volta. El guanyador és qui aconsegueix la majoria absoluta de vots, és a dir, simplement més vots que el seu oponent. En aquest escenari, Pitàgores (34 vots) i Tales (20) passaran a la segona volta. A la segona volta, els votants reparteixen els seus vots segons les seves preferències. Tots menys els pitagòrics prefereixen Tales a Pitàgores. Aquesta és una situació habitual en què un partit té un electorat dur i està envoltat de reticències generals. Així, en la pròrroga, Pitàgores no rebrà ni un sol vot. Resultat 66:34 a favor de Thales i victòria decisiva. Una situació semblant es va produir l'any 2001 a Eslovàquia, on un candidat que va guanyar clarament la primera volta va perdre a la segona. Va ser similar a les eleccions presidencials de Polònia del 2005: el líder va ser derrotat a la segona després de la primera volta. Visca les històries presidencials!
En el ciclisme s'utilitza l'anomenat sistema australià. Després de cada volta de la pista, s'elimina l'última. Aquesta versió de la llei electoral s'anomena "elecció de consellers". Sota aquest sistema, va ser elegit el primer president de la Polònia independent, Gabriel Narutowicz. Com es veuria a la nostra Grècia?

La qüestió és més complicada. Si us plau, feu un seguiment. A la primera volta, Euclides va rebre menys vots i va abandonar (quina llàstima, tan bon matemàtic!). A continuació, el partit vota a la segona volta el segon de la seva llista: Tsaplya. A la segona volta, Heron té 19 + 10 = 29 vots. Apol·loni és eliminat (17 vots). Partit, i després votar per Heron. A la tercera volta Pitàgores (electorat fix) té 34 vots, Thales 20 i Heron 29 + 17 = 46 vots. Les històries han sortit. Als falesians (part B) tampoc els agraden els pitagòrics: prefereixen els heralds. Altres també, excepte les parts estables A i E. En el torn final, Heron derrota fàcilment a Pitàgores 66:34. Vivat President Heron!

4. Al Festival d'Eurovisió es van atorgar 12 punts al primer lloc de la llista, 10 al segon lloc, 9 al tercer, etc. Suposem aproximadament el mateix marcador 6-4-3-2-1. Així doncs, es van atorgar punts en tres partits d'atletisme (tres equips, dos jugadors en cada competició, l'any 1958 Polònia va guanyar contra els EUA i Gran Bretanya!). Els nostres resultats seran els següents:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Grecs, aquí teniu el vostre president Euclides!

5. Els lectors endevinen que només cal comptar els vots perquè resulti que Apol·loni és el millor. De fet, Apol·loni és el millor, perquè és el millor. Tothom perd davant Apol·loni! Per què?

Quants electors van situar Apol·loni per sobre d'Heron? Calculem: 25+17+9=51 significa majoria. No gaire, però encara.

A quina distància està Apol·loni per davant d'Euclides? 20 + 19 + 17 = 56, la majoria d'ells.

Quants prefereixen Apol·loni a Tales: 19+17+10+9=55>50.

Finalment, Apol·loni de Pitàgores prefereix 20 + 19 + 17 + 10 = 66 electors sobre 100.

Des de llavors -el poble grec, capaç de pensar lògicament- des d'aleshores, sobretot, Apol·loni prefereix qualsevol altre candidat; al cap i a la fi, és ell qui ens ha de governar el proper mandat! Apropa't, Apol·loni, el nostre president electe! Seràs el nostre 44.