Coronavirus i educació matemàtica: col·leccions parcialment encarregades

El virus que ens ha afectat està impulsant una ràpida reforma educativa. sobretot als nivells superiors d'educació. Sobre aquest tema, podeu escriure un assaig més llarg, sens dubte hi haurà un flux de tesis doctorals sobre la metodologia de l'aprenentatge a distància. Des d'un cert punt de vista, es tracta d'un retorn a les arrels i als hàbits oblidats de l'autoestudi. Així va ser, per exemple, a l'escola secundària de Kremenets (a Kremenets, ara a Ucraïna, que existia el 1805-31, va vegetar fins al 1914 i va viure el seu apogeu el 1922-1939). Els alumnes hi van estudiar pel seu compte: només després d'haver après, els professors van entrar amb correccions, aclariments finals, ajuda en llocs difícils, etc. e. Quan vaig ser estudiant, també deien que havíem d'adquirir coneixements nosaltres mateixos, que només ordenar i enviar classes a la universitat. Però aleshores només era una teoria...

A la primavera del 2020, no sóc l'únic que va descobrir que les lliçons (incloent conferències, exercicis, etc.) es poden dur a terme de manera molt eficaç a distància (Google Meet, Microsoft Teams, etc.), a costa de molta feina. per part del professor i només un desig "aconseguir una educació" d'altra banda; però també amb certa comoditat: m'assec a casa, a la butaca, i en les conferències tradicionals, els alumnes també sovint feien alguna cosa més. L'efecte d'aquesta formació pot ser fins i tot millor que amb el sistema de classes i classes tradicional, que es remunta a l'edat mitjana. Què en quedarà d'ell quan el virus vagi a l'infern? Crec que... bastant. Però ja veurem.

Avui parlaré dels conjunts parcialment ordenats. És fàcil. Com que una relació binària en un conjunt no buit X s'anomena relació d'ordre parcial quan existeix

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filòsof,

President de l'Acadèmia de Ciències de Polònia entre 1957 i 1962).

1. Reflexiu, és a dir, per a cada ∈ hi ha ",
2. Passant, és a dir. si ", i ", aleshores",
3. Semi asimètric, és a dir. ("∧")→ =

Una cadena és un conjunt amb la propietat següent: per a dos elements qualsevol, aquest conjunt és "o y". Antichain és...

Para, para! Es pot entendre alguna cosa d'això? Per descomptat que ho és. Però algun dels lectors (sabent el contrari) ja ha entès el que hi ha aquí?

No crec! I aquest és el cànon de l'ensenyament de les matemàtiques. També a l'escola. Primer, una definició decent i estricta, i després, aquells que no s'han adormit per l'avorriment, definitivament entendran alguna cosa. Aquest mètode el van imposar els "grans" professors de matemàtiques. Ha de ser prudent i estricte. És cert que així ha de ser al final. Les matemàtiques han de ser una ciència exacta (Vegeu també: ).

He de confessar que a la universitat on treballo després de jubilar-me de la Universitat de Varsòvia també vaig fer classe durant tants anys. Només dins hi havia el famós cubell d'aigua freda (que quedi així: calia una galleda!). De sobte, l'alta abstracció es va fer lleugera i agradable. Atenció: fàcil no vol dir fàcil. El boxejador lleuger també ho passa malament.

Somric als meus records. Em va ensenyar les bases de les matemàtiques l'aleshores degà de la facultat, un matemàtic de primer nivell que acabava d'arribar d'una llarga estada als Estats Units, que en aquell moment era quelcom extraordinari en si mateix. Crec que era una mica esnob quan es va oblidar una mica del polonès. Va abusar del vell polonès "què", "per tant", "azalea" i va encunyar el terme: "relació semi-asimètrica". M'encanta utilitzar-lo, és molt precís. M'agrada. Però això no ho demano als estudiants. Això s'anomena comunament "antisimetria baixa". Deu precioses.

Fa molt de temps, perquè als anys setanta (del segle passat) hi va haver una gran i alegre reforma de l'ensenyament de les matemàtiques. Això va coincidir amb l'inici del curt període del regnat d'Eduard Gierek, una certa obertura del nostre país al món. "Als nens també se'ls pot ensenyar matemàtiques superiors", van exclamar els Grans Mestres. Es va elaborar un resum de la conferència universitària "Fundaments de les matemàtiques" per a nens. Aquesta va ser una tendència no només a Polònia, sinó a tota Europa. No n'hi havia prou amb resoldre l'equació, s'havia d'explicar cada detall. Per no ser infundat, cadascun dels lectors pot resoldre el sistema d'equacions:

però els alumnes havien de justificar cada pas, referir-se a afirmacions rellevants, etc. Aquest era un excés clàssic de forma sobre contingut. Ara em resulta fàcil criticar. Jo també vaig ser una vegada partidari d'aquest enfocament. És emocionant... per a joves apassionats de les matemàtiques. Això, per descomptat, ho era (i, per tal d'atenció, jo).

Però prou digressió, anem a l'obra: una conferència que "teòricament" estava pensada per als alumnes de segon de la Politècnica i que si no no fos per ella hauria estat seca com els flocs de coco. Estic exagerant una mica...

Bon dia per a tu. El tema d'avui és la neteja parcial. No, això no és un indici de neteja descuidada. La millor comparació seria considerar quin és millor: sopa de tomàquet o pastís de crema. La resposta és clara: segons què. De postres: galetes, i per a un plat nutritiu: sopa.

En matemàtiques, tractem els nombres. Estan ordenats: cada cop són més grans, però de dos nombres diferents, un sempre és menor, és a dir, que l'altre és més gran. Estan disposats en ordre, com les lletres de l'alfabet. Al diari de classe, l'ordre pot ser el següent: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (són amics i companys de classe de la meva classe!). Tampoc tenim cap dubte que Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. El símbol de "doble desigualtat" té el significat "abans".

Al meu club de viatges, intentem fer les llistes alfabèticament, però pel nom, per exemple, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, etc. En els registres oficials, l'ordre s'invertiria. Els matemàtics es refereixen a l'ordre alfabètic com a lexicogràfic (un lèxic és més o menys com un diccionari). D'altra banda, aquest ordre, en el qual en un nom format per dues parts (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) primer ens fixem en la segona part, és un ordre antilexicogràfic per als matemàtics. Títols llargs, però contingut molt senzill.

1. Ordre lineal: estacions i parades del ferrocarril Habovka-Zakopane des de Podhale, construït l'any 1899 (deixo la descodificació de les abreviatures al lector).

Totes aquestes comandes s'anomenen comandes de línia. Ordenarem al seu torn: primer, segon, tercer. Tot està en ordre, des del primer punt fins a l'últim. No sempre té sentit. Després de tot, organitzem els llibres a la biblioteca no així, sinó per seccions. Només dins del departament ens organitzem de manera lineal (normalment alfabèticament).

2. Ordre lineal: en posar en marxa el motor del cotxe, realitzem accions en un ordre coherent.

Amb projectes més grans, sobretot en el treball en equip, ja no tenim un ordre lineal. Mirem-ho fig. 3. Volem construir un petit hotel. Ja tenim diners (cel·la 0). Elaborem permisos, recollim materials, comencem la construcció i alhora fem una campanya publicitària, busquem treballadors, etc. Quan arribem a "10", els primers hostes poden registrar-se (un exemple de les històries del Sr. Dombrowski i el seu petit hotel als suburbis de Cracòvia). Tenim ordre no lineal – algunes coses poden passar en paral·lel.

En economia, aprendràs el concepte de camí crític. Aquest és el conjunt d'accions que s'han de realitzar de manera seqüencial (i això s'anomena cadena en matemàtiques, més en un moment), i que triguen més temps. Reduir el temps de construcció és una reorganització del camí crític. Però més sobre això en altres conferències (us recordo que estic llegint una "conferència universitària"). Ens centrem en les matemàtiques.

Els diagrames com la figura 3 s'anomenen diagrames de Hasse (Helmut Hasse, matemàtic alemany, 1898–1979). Tot esforç complex s'ha de planificar d'aquesta manera. Veiem seqüències d'accions: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Els matemàtics els anomenen cordes. Tota la idea consta de quatre cadenes. En canvi, els grups d'activitat 1-2-3-4, 5-6-7 i 8-9 són anticadenes. Aquí és com es diuen. El cas és que en un grup concret, cap de les accions depèn de l'anterior.

4. Això també és un diagrama de Hasse.

anem a imatge 4. Què és impressionant? Però podria ser un mapa del metro d'alguna ciutat! Els ferrocarrils subterranis s'agrupen sempre en línies: no passen d'un a un altre. Les línies són línies separades. A la ciutat de Fig. 4 és forn línia (recordeu-ho forn s'escriu "boldem" -en polonès s'anomena mig gruixut).

En aquest diagrama (Fig. 4) hi ha un ABF groc curt, un ACFPS de sis estacions, un ADGL verd, un DGMRT blau i el vermell més llarg. El matemàtic dirà: aquest diagrama de Hasse té forn cadenes. Està a la línia vermella set estació: AEINRUW. Què passa amb les anticadenes? Hi són ells set. El lector ja s'ha adonat que vaig subratllar doblement la paraula set.

Anticadena es tracta d'un conjunt d'estacions tal que és impossible anar d'una a una altra sense transbordament. Quan "entenem" una mica, veurem les anticadenes següents: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Si us plau, comproveu, per exemple, que no és possible viatjar des de cap de les emissores de BCLTV a una altra BCTLV sense transferència, més precisament: sense haver de tornar a l'estació que es mostra a continuació. Quantes anticadenes hi ha? Set. Quina mida és la més gran? Enfornar (de nou en negreta).

Us podeu imaginar, estudiants, que la coincidència d'aquests números no és casual. Això és. Això va ser descobert i provat (és a dir, sempre així) l'any 1950 per Robert Palmer Dilworth (1914–1993, matemàtic nord-americà). El nombre de files necessàries per cobrir tot el conjunt és igual a la mida de l'anticadena més gran, i viceversa: el nombre d'anticadenes és igual a la longitud de l'anticadena més llarga. Aquest és sempre el cas en un conjunt parcialment ordenat, és a dir. una que es pot visualitzar. Diagrama de Hassego. Aquesta no és una definició del tot estricta i correcta. Això és el que els matemàtics anomenen una "definició de treball". Això és una mica diferent de la "definició de treball". Aquesta és una pista sobre com entendre conjunts parcialment ordenats. Aquesta és una part important de qualsevol formació: mireu com funciona.

L'abreviatura anglesa és: aquesta paraula sona bonica en les llengües eslaves, una mica com un card. Tingueu en compte que el card també està ramificat.

Molt bonic, però qui ho necessita? Vosaltres, estimats estudiants, el necessiteu per aprovar l'examen, i probablement aquest sigui un motiu prou bo per estudiar-lo. Estic escoltant, quines preguntes? Estic escoltant, senyor des de sota la finestra. Oh, la pregunta és, serà alguna vegada això útil al Senyor a la teva vida? Potser no, però per algú més intel·ligent que tu, segur... Potser per a l'anàlisi del camí crític en un projecte econòmic complex?

Escric aquest text a mitjans de juny, les eleccions del rector estan en marxa a la Universitat de Varsòvia. He llegit diversos comentaris d'internautes. Hi ha una quantitat sorprenent d'odi (o "odi") cap a "persones educades". Algú va escriure sense embuts que les persones amb estudis universitaris en saben menys que les que tenen estudis universitaris. Per descomptat, no entraré en la discussió. Només em fa pena que torni l'opinió establerta a la República Popular de Polònia que tot es pot fer amb un martell i un cisell. Torno a les matemàtiques.

Teorema de Dillworth té diverses aplicacions interessants. Un d'ells es coneix com el teorema del matrimoni.fig. 6). 

Hi ha un grup de dones (més aviat noies) i un grup d'homes una mica més gran. Totes les noies pensen una cosa així: "Em podria casar amb aquesta, per una altra, però mai a la meva vida per un tercer". I així successivament, cadascú té les seves preferències. Dibuixem un diagrama que porta a cadascun d'ells una fletxa de l'home que no rebutja com a candidat a l'altar. P: Es poden emparellar les parelles perquè cadascú trobi un marit que accepti?

Teorema de Philip Hall, diu que això es pot fer - sota determinades condicions, que no parlaré aquí (llavors a la propera conferència, estudiants, si us plau). Tingueu en compte, però, que la satisfacció masculina no s'esmenta aquí en absolut. Com sabeu, són les dones les que ens escullen, i no a l'inrevés, com ens sembla (us recordo que sóc autora, no autora).

Unes matemàtiques serioses. Com segueix el teorema de Hall de Dilworth? És molt senzill. Tornem a mirar la figura 6. Les cadenes que hi ha són molt curtes: tenen una longitud de 2 (correr en direcció). Un conjunt d'homenets és un anti-cadena (precisament perquè les fletxes només estan cap a). Així, podeu cobrir tota la col·lecció amb tantes anticadenes com homes hi hagi. Així que cada dona tindrà una fletxa. I això vol dir que pot semblar el noi que accepta!!!

Espera, pregunta algú, això és tot? Tot és una aplicació? Les hormones s'entendran d'alguna manera i per què les matemàtiques? En primer lloc, aquesta no és tota l'aplicació, sinó només una d'una gran sèrie. Vegem-ne un. Siguem (Fig. 6) no representants del millor sexe, sinó compradors prosaics, i aquestes són marques, per exemple, cotxes, rentadores, productes per a aprimar, ofertes d'agències de viatges, etc. Cada comprador té marques que accepta i accepta. rebutja. Es pot fer alguna cosa per vendre alguna cosa a tothom i com? Aquí és on no només acaben les bromes, sinó també el coneixement de l'autor de l'article sobre aquest tema. L'únic que sé és que l'anàlisi es basa en matemàtiques força complexes.

Ensenyar matemàtiques a l'escola és ensenyar algorismes. Aquesta és una part important de l'aprenentatge. Però a poc a poc anem avançant cap a l'aprenentatge no tant de les matemàtiques com del mètode matemàtic. La conferència d'avui tractava només d'això: estem parlant de construccions mentals abstractes, estem pensant en la vida quotidiana. Estem parlant de cadenes i anticadenes en conjunts amb relacions inverses, transitives i altres que fem servir en els models venedor-comprador. L'ordinador ens farà tots els càlculs. Encara no crearà models matemàtics. Encara guanyem amb el nostre pensament. De totes maneres, tant de temps com sigui possible!