Pel nou curs escolar

La majoria dels lectors estaven en algun lloc de vacances, ja fos al nostre bonic país, als països veïns i potser fins i tot a l'estranger. Aprofitem-ho mentre ens estan obertes les fronteres... Quin era el senyal més habitual en els nostres trajectes curts i llargs? Es tracta d'una fletxa que apunta cap a la sortida de l'autopista, la continuació del camí de muntanya, l'entrada al museu, l'entrada a la platja, etc. Què hi ha de tan interessant de tot això? No molt bo matemàticament. Però pensem: aquest signe és evident per a tothom... representants d'una civilització en la qual van disparar des d'un arc. És cert que això és impossible demostrar-ho. No coneixem cap altra civilització. Tanmateix, matemàticament més interessant és el pentàgon regular i la seva variant en forma d'estrella: el pentagrama.

No necessitem tenir cap educació per trobar aquests números intrigants i interessants. Si, lector, vas beure conyac de cinc estrelles en un hotel de cinc estrelles de la Place des Stars de París, potser... vas néixer sota una estrella de la sort. Quan algú ens demana que dibuixem una estrella, dibuixarem sense dubtar-ne una de cinc puntes, i quan l'interlocutor se sorprèn: "Aquest és un símbol de l'antiga URSS!", Podem respondre: Estables!"

El pentagrama, o estrella de cinc puntes, pentàgon regular, ha estat dominat per tota la humanitat. Almenys una quarta part dels països, inclosos els Estats Units i l'antiga URSS, l'han inclòs als seus emblemes. De petits vam aprendre a dibuixar una estrella de cinc puntes sense aixecar el llapis de la pàgina. A l'edat adulta, esdevé la nostra estrella guia, immutable, llunyana, un símbol d'esperança i destí, un oracle. Mirem-ho des de fora.

Què ens diuen les estrelles?

Els historiadors coincideixen: fins al segle VII aC, l'herència intel·lectual dels pobles d'Europa va romandre a l'ombra de les cultures de Babilònia, Egipte i Fenícia. I de sobte el segle VI comporta un renaixement i un desenvolupament tan ràpid de la cultura i la ciència que alguns periodistes (per exemple, Däniken) afirmen -és difícil de dir si ells mateixos s'ho creuen- que això no hauria estat possible sense la intervenció de els presoners. des de l'espai.

Quan es tracta de Grècia, el cas té una explicació racional: com a resultat de la migració dels pobles, els habitants de la península del Peloponès aprenen més informació sobre la cultura dels països veïns (per exemple, les lletres fenícies penetren a Grècia i milloren l'alfabet) , i ells mateixos comencen a colonitzar la conca mediterrània. Aquestes són sempre unes condicions molt favorables per al desenvolupament de la ciència: la independència combinada amb els contactes amb el món. Sense la independència, ens condemnem al destí de les repúbliques bananeres d'Amèrica Central, sense contactes: a Corea del Nord.

Els números importen

El segle VI aC va ser un segle especial en la història de la humanitat. Sense saber-se ni potser haver sentit parlar els uns dels altres, els tres grans pensadors van ensenyar: Buda, Confuci i Pitàgores. Els dos primers van crear religions i sistemes filosòfics que encara existeixen avui dia. El paper del tercer d'ells es limita al descobriment d'una o altra propietat d'un triangle concret?

Al tombant dels segles VII i VI (c. 624 - c. 546 aC) vivia a Milet a l'Àsia Menor moderna. Tal. Algunes fonts diuen que era un científic, d'altres que era un ric comerciant, i d'altres encara l'anomenen empresari (aparentment, en un any va comprar totes les premses d'oli i després les va agafar en préstec per una taxa d'usura). Alguns, segons la moda i el patró actual de fer ciència, veuen en ell, al seu torn, un mecenes: pel que sembla, va convidar els savis, els va alimentar i els va tractar, i després va dir: “bé, treballa per a mi glòria. i tota la ciència”. No obstant això, moltes fonts serioses s'inclinen a afirmar que Thales, de carn i ossos, no existia en absolut, i el seu nom només servia com a personificació d'idees específiques. Com va ser, així va ser, i probablement mai ho sabrem. L'historiador de les matemàtiques E. D. Smith va escriure que si no hi hagués hagut Tales, no hi hauria hagut Pitàgores ni ningú com Pitàgores, i sense Pitàgores no hi hauria hagut Plató ni ningú com Plató. Més probable. Deixem, però, de banda el que hauria passat si.

Pitàgores (c. 572 - c. 497 aC) va ensenyar a Crotona, al sud d'Itàlia, i va ser allà on va néixer el moviment intel·lectual que porta el nom del mestre: pitagorisme. Va ser un moviment i una associació ètic-religiosa, basada, com l'anomenaríem avui, en secrets i ensenyaments secrets, considerant l'estudi de la ciència com un dels mitjans de purificació de l'ànima. Al llarg d'una o dues generacions, el pitagorisme va passar per les etapes habituals del desenvolupament de les idees: creixement i expansió inicial, crisi i decadència. Les idees realment fantàstiques no acaben aquí i mai moren per sempre. L'ensenyament intel·lectual de Pitàgores (va inventar el terme que ell mateix s'anomenava: filòsof, o amic de la saviesa) i els seus deixebles van dominar al llarg de l'antiguitat, després van tornar al Renaixement (amb el nom de panteisme), i de fet estem sota la seva influència. Avui. Els principis del pitagorisme estan tan arrelats a la cultura (almenys la cultura europea) que ens costa adonar-nos que podríem pensar diferent. No ens sorprèn menys que el senyor Jourdain de Molière, que es va sorprendre en saber que durant tota la vida havia parlat en prosa.

La idea principal del pitagorisme era la creença que el món està organitzat segons un pla i una harmonia estrictes, i que la vocació de l'home és conèixer aquesta harmonia. I és precisament pensar en l'harmonia del món el que constitueix l'ensenyament del pitagorisme. Sens dubte, els pitagòrics eren alhora místics i matemàtics, encara que només avui és fàcil classificar-los de manera tan casual. Van obrir el camí. Van començar les seves investigacions sobre l'harmonia del món, primer estudiant música, astronomia, aritmètica, etc.

Encara que la humanitat va sucumbir a la màgia "per sempre", només l'escola pitagòrica la va elevar a una llei generalment aplicable. "Els números fan la pau" – aquest lema era la millor característica de l'escola. Els números tenien ànima. Cadascun significava alguna cosa, cadascun simbolitzava alguna cosa, cadascun reflectia una partícula d'aquesta harmonia de l'Univers, és a dir. espai. La paraula en si significa "ordre, ordre" (els lectors saben que els cosmètics suavitzen la cara i milloren la bellesa).

Les diferents fonts donen diferents significats que els pitagòrics donaven a cada nombre. D'una manera o altra, un mateix nombre podria simbolitzar diversos conceptes. Els més importants van ser 06:00 (número perfecte) I deu – la suma de nombres consecutius 1+2+3+4, composts per altres nombres, el simbolisme dels quals ha arribat fins als nostres dies.

Així doncs, Pitàgores va ensenyar que els números són el principi i la font de tot, que -si ho inventes- es "barregen" entre ells, i només veiem els resultats del que fan. Creat, o més aviat desenvolupat per Pitàgores, el misticisme dels nombres avui dia no té una "bona premsa" i fins i tot els autors seriosos veuen aquí una barreja de "pathos i absurd" o "ciència, misticisme i pura exageració". És difícil entendre com el famós historiador Alexander Kravchuk va poder escriure que Pitàgores i els seus estudiants van omplir la filosofia de visions, mites, supersticions, com si no entengués res. Perquè només es veu així des del punt de vista del nostre segle XIX. Els pitagòrics no esforçaven res; van crear les seves teories amb total bona fe. Potser d'aquí a uns segles algú escriurà que tota la teoria de la relativitat també era absurda, pretenciosa i tensa. I el simbolisme numèric, que ens va separar de Pitàgores un quart de milió d'anys, va penetrar profundament en la cultura i va passar a formar part d'ella, com els mites grecs i germànics, les èpiques cavalleres medievals, els contes populars russos sobre Kosc o la visió de Juliusz Słowacki de la Papa eslau.

Misteriosa irracionalitat

En geometria els pitagòrics estaven meravellats figurami podobnymi. I va ser durant l'anàlisi del teorema de Tales, la llei bàsica de les regles de semblança, que es va produir un desastre. Es van descobrir seccions inconmensurables i, per tant, nombres irracionals. Episodis que no es poden mesurar amb cap mesura general. Nombres que no són proporcions. I es va descobrir en una de les formes més senzilles: el quadrat.

Avui a l'escola de ciències passem per alt aquest fet, gairebé sense adonar-nos-en. La diagonal d'un quadrat és igual a √2? Genial, quant podria ser això? Premem dos botons de la calculadora: 1,4142... D'acord, ja sabem quina és l'arrel quadrada de dos. Quin? Això és irracional? Això probablement és perquè fem servir un signe tan estrany, però de fet això és 1,4142. Després de tot, la calculadora no menteix.

Si el lector creu que estic exagerant, aleshores... molt bé. Pel que sembla, a les escoles poloneses no és tan dolent com, per exemple, a les britàniques, on es tracta incommensurabilitat en algun lloc entre els contes de fades.

En polonès, la paraula "irracional" no fa tanta por com la seva contrapartida en altres llengües europees. Els nombres racionals hi ha racionals, racionals, racionals, és a dir.

Considereu el raonament que √2 aquest és un nombre irracional, és a dir, no és cap fracció de p/q, on p i q són nombres enters. En llenguatge modern, sembla així... Suposem que √2 = p/q i que aquesta fracció ja no es pot escurçar. En particular, tant p com q són senars. Anem al quadrat: 2q²=p². El nombre p no pot ser senar, ja que aleshores p² també seria, i el costat esquerre de la igualtat és múltiple de 2. Per tant, p és parell, és a dir, p = 2r, per tant p²= 4r². Reduïm l'equació 2q²= 4r². obtenim d²= 2r² i veiem que q també deu ser parell, i vam suposar que no ho era. Rebut contradicció la prova acaba: podeu trobar aquesta fórmula de tant en tant a tots els llibres de matemàtiques. Aquesta prova indirecta és una tècnica preferida dels sofistes.

M'agradaria subratllar, però, que aquest és un raonament modern: els pitagòrics no tenien un aparell algebraic tan desenvolupat. Buscaven una mesura general del costat d'un quadrat i la seva diagonal, la qual cosa els va portar a la idea que aquesta mesura general no podia existir. L'assumpció de la seva existència porta a una contradicció. El sòl sòlid va relliscar de sota els meus peus. Tot s'ha de poder descriure amb números, i la diagonal d'un quadrat, que qualsevol pot dibuixar amb un pal a la sorra, no té longitud (és a dir, mesurable, perquè no hi ha altres números). "La nostra fe va ser en va", semblen dir els pitagòrics. Què fer?

Es van intentar fugir mitjançant mètodes sectaris. Qualsevol que s'atreveixi a descobrir l'existència de nombres irracionals serà assassinat i, pel que sembla, el mateix mestre -contràriament al manament de la mansedèria- executa la primera frase. Aleshores tot es converteix en una cortina. Segons una versió, els pitagòrics van ser assassinats (uns quants es van salvar i gràcies a ells tota la idea no va ser portada a la tomba), segons una altra, els mateixos estudiants, tan obedients, expulsen l'adorat mestre i en algun lloc acaba amb la seva vida. a l'exili. La secta deixa d'existir.

Tots coneixem la cita de Winston Churchill: "Mai en la història dels conflictes humans tants havien degut tant a tan pocs". Es tractava dels pilots que van defensar Anglaterra dels avions alemanys el 1940. Si substituïm "conflictes humans" per "pensaments humans", aleshores la dita s'aplica al grapat de pitagòrics que van escapar (tan pocs) del pogrom a finals del segle XX. segle VI aC.

Així que "el pensament va passar il·lès". Que segueix? S'acosta l'edat daurada. Els grecs derroten els perses (Marathon - 490 aC, Platezhe - 479). La democràcia s'enforteix. Sorgeixen nous centres de pensament filosòfic i noves escoles. Els seguidors del pitagorisme s'enfronten al problema dels nombres irracionals. Alguns diuen: “No entendrem aquest misteri; només podem contemplar-ho i admirar Uncharted". Aquests últims són més pragmàtics i no respecten el Secret: “Si hi ha alguna cosa malament amb aquests números, deixem-los en pau, d'aquí a uns 2500 anys tot es coneixerà. Potser els números no governen el món? Comencem per la geometria. Ja no són els números els que són importants, sinó les seves proporcions i relacions".

Els defensors de la primera direcció són coneguts pels historiadors de les matemàtiques com acústica, Van viure uns quants segles més i ja està. Aquests últims es van anomenar matemàtics (del grec mathein = saber, aprendre). No cal que expliquem a ningú que va ser precisament aquest plantejament el que va guanyar: fa vint-i-cinc segles que viu i prospera.

La victòria dels matemàtics sobre l'ausmàtica es va expressar, en particular, en l'aparició d'un nou símbol dels pitagòrics: a partir d'ara era un pentagrama (pentás = cinc, gramma = lletra, inscripció) - un pentàgon regular en forma de estrella. Les seves branques s'entrecreuen de manera extremadament proporcional: el tot sempre es relaciona amb la part més gran, i la part més gran amb la part més petita. Ell ha trucat proporció divina, després secularitzat a or. Els antics grecs (i després d'ells tot el món eurocèntric) creien que aquesta proporció era més agradable a l'ull humà, i la trobaven gairebé a tot arreu.

(Cyprian Camille Norwid, "Prometidion")

Acabaré amb un altre fragment, aquesta vegada del poema “Faust” (traducció de Wladyslaw August Kostelski). Bé, el pentagrama també és una imatge dels cinc sentits i del famós "peu de bruixot". En el poema de Goethe, el doctor Faust va voler protegir-se del diable pintant aquest símbol al llindar de casa seva. Ho va fer de manera casual i això és el que va passar:

Faust

M efistòfeles

Faust

I això és tot sobre el pentàgon habitual a l'inici del nou curs.