Per què no dividim per zero?
Contingut
Els lectors poden preguntar-se per què dedico un article sencer a un tema tan banal? El motiu és el nombre impressionant d'estudiants (!) que duen a terme l'operació amb el nom de manera casual. I no només estudiants. De vegades agafo i professors. Què seran capaços de fer els alumnes d'aquests professors en matemàtiques? El motiu immediat per escriure aquest text va ser una conversa amb un professor per a qui la divisió per zero no era un problema...
Amb zero, sí, llevat de la molèstia de res, perquè realment no necessitem utilitzar-lo a la vida quotidiana. No anem a comprar zero ous. "Hi ha una persona a l'habitació" sona d'alguna manera natural, i "zero persones" sona artificial. Els lingüistes diuen que zero està fora del sistema lingüístic.
També podem prescindir del zero als comptes bancaris: només cal que utilitzeu, com en un termòmetre, vermell i blau per als valors positius i negatius (tingueu en compte que per a la temperatura és natural utilitzar el vermell per als números positius i per als comptes bancaris és al revés, perquè el dèbit hauria de desencadenar un avís, per la qual cosa el vermell és molt recomanable).
En incloure zero com a nombre natural, toquem el problema de la diferenciació nombres cardinals od llar. Dins d'1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
la potència del nombre és la mateixa que el número del lloc on es troba. En cas contrari, ja està en la seqüència 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
El nombre de conjunts singleton arriba en segon lloc, el nombre de conjunts amb dos elements és tercer, i així successivament. Hem d'explicar per què, per exemple, no numerem les places dels esportistes a les competicions des de zero. Aleshores, el guanyador del primer classificat rebria una medalla de plata (l'or va ser per al guanyador del zero lloc), etc. En el futbol s'utilitzava un procediment una mica similar: no sé si els lectors saben que "lliga XNUMX" significa " seguint el millor". ", i la lliga zero està cridada a convertir-se en la "lliga major".
De vegades escoltem l'argument que hem de començar de zero, perquè és convenient per als informàtics. Continuant amb aquestes consideracions, s'hauria de canviar la definició de quilòmetre: hauria de ser 1024 m, perquè aquest és el nombre de bytes en un kilobyte (em referiré a una broma coneguda pels informàtics: "Quina diferència hi ha entre un estudiant de primer any i un estudiant d'informàtica i un estudiant de cinquè d'aquesta facultat? que un kilobyte són 1000 kilobytes, l'últim - que un quilòmetre són 1024 metres")!
Un altre punt de vista, que ja s'hauria de prendre seriosament, és aquest: sempre mesurem des de zero! N'hi ha prou amb mirar qualsevol escala al regle, a les bàscules domèstiques, fins i tot al rellotge. Com que mesurem des de zero, i el recompte es pot entendre com una mesura amb una unitat adimensional, hauríem de comptar des de zero.
És una qüestió senzilla, però...
Deixem el raonament general i tornem a la divisió per zero. La qüestió és senzilla i seria senzill si no fos per... i què? Pensem i provem. Quant pot ser: un dividit per zero? Vegem: 1/0 = x. Multiplica els dos costats pel denominador del costat esquerre.
Obtenim 1=0. Alguna cosa està malament! Què va passar? Ah, suposo! La suposició que hi ha un quocient d'unitat i zero condueix a una contradicció. I si un no es pot dividir per zero, un altre nombre sí. Si, lector, t'arnconges d'espatlles i et preguntes per què l'autor (és a dir, jo) escriu sobre aquestes banalitats, aleshores... me n'alegro molt!
La fórmula 0/0 = 0 es podria defensar de manera obstinada, però contradiu la regla que el resultat de dividir un nombre per si mateix és igual a un. Absolutament, però molt diferents són símbols com 0/0, °/° i similars en càlcul. No signifiquen cap nombre, sinó que són designacions simbòliques per a seqüències particulars de certs tipus.
En un llibre d'enginyeria elèctrica, vaig trobar una comparació interessant: dividir per zero és tan perillós com l'electricitat d'alta tensió. Això és normal: la llei d'Ohm estableix que la relació entre la tensió i la resistència és igual al corrent: V = U / R. Si la resistència fos zero, un corrent teòricament infinit passaria pel conductor, cremant tots els conductors possibles.
Una vegada vaig escriure un poema sobre els perills de dividir per zero per a cada dia de la setmana. Recordo que el dia més dramàtic va ser el dijous, però és una llàstima per tota la meva feina en aquest àmbit.
Quan divideix alguna cosa per zero
Dilluns molt d'hora
Setmana el que acaba de passar
Ja has fracassat miserablement.
Quan dimarts a la tarda
Poseu zero al denominador
Aleshores et diré que t'equivoques
Mal matemàtic!
Quan passa per zero, per perversió,
Volem separar-nos dimecres
Us ficareu molts problemes
Tens fenc i aigua al cap!
Un tal Bartek estava amb nosaltres.
Estava en desacord amb les regles.
El dijous és divisible per zero.
Ja no està entre nosaltres!
Si un desig estrany s'apodera de tu
Dividiu per zero el divendres
Seré sincer, seré sincer:
Mal inici d'aquest cap de setmana.
Quan és zero, en algun lloc del dissabte
El divisor serà teu (no en negreta)
Agenollar-se sota la tanca de l'església.
Aquesta és la teva resurrecció.
Vols zero sota el guió?
Fes un diumenge festiu
Porta guix, pissarra negra.
Escriu: no és divisible per zero!
El zero s'associa amb el buit i el no-res. De fet, va arribar a les matemàtiques com una quantitat que, quan s'afegeix a qualsevol, no la canvia: x + 0 = x. Però ara el zero apareix en diversos altres valors, sobretot com inici d'escala. Si fora de la finestra no hi ha ni temperatura positiva ni gelada, aleshores... això és zero, la qual cosa no vol dir que no hi hagi cap temperatura. Un monument de classe zero no és aquell que hagi estat enderrocat durant molt de temps i simplement no existeix. Al contrari, és una cosa com el Wawel, la Torre Eiffel i l'Estàtua de la Llibertat.
Bé, la importància del zero en un sistema posicional difícilment es pot sobreestimar. Saps, lector, quants zeros té Bill Gates al seu compte bancari? No ho sé, però m'agradaria la meitat. Pel que sembla, Napoleó Bonaparte va notar que les persones són com els zeros: adquireixen significat per la posició. A As the Years, As the Days Pass, d'Andrzej Wajda, l'apassionat artista Jerzy explota: "Philister és zero, nihil, res, res, nihil, zero". Però zero pot ser bo: "desviació zero de la norma" vol dir que tot va bé, i segueix així!
Tornem a les matemàtiques. El zero es pot sumar, restar i multiplicar amb impunitat. "Vaig engreixar zero quilograms", diu Manya a Anya. "I això és interessant, perquè vaig perdre el mateix pes", respon Anya. Així que mengem sis racions zero de gelat sis vegades, no ens farà mal.
No podem dividir per zero, però podem dividir per zero. Un plat de boles zero es pot lliurar fàcilment als que estan esperant menjar. Quant rebrà cadascun?
El zero no és positiu ni negatiu. Això i el número no positiuи no negatiu. Compleix les desigualtats x≥0 i x≤0. La contradicció "alguna cosa positiva" no és "alguna cosa negativa", sinó "alguna cosa negatiu o igual a zero". Els matemàtics, contràriament a les regles de la llengua, sempre diran que alguna cosa és "igual a zero" i no "zero". Per justificar aquesta pràctica, tenim: si llegim la fórmula x = 0 "x és zero", aleshores x = 1 llegim "x és igual a un", que es podria empassar, però què passa amb "x = 1534267"? Tampoc no podeu assignar un valor numèric al caràcter 00ni elevar zero a una potència negativa. D'altra banda, podeu arrelar zero a voluntat... i el resultat sempre serà zero.
Funció exponencial y = ax, la base positiva de a, mai esdevé zero. Es dedueix que no hi ha un logaritme zero. De fet, el logaritme de a a la base b és l'exponent al qual s'ha d'elevar la base per obtenir el logaritme de a. Per a a = 0, no hi ha aquest indicador i zero no pot ser la base del logaritme. Tanmateix, el zero en el "denominador" del símbol de Newton és una altra cosa. Suposem que aquestes convencions no condueixen a una contradicció.
proves falses
La divisió per zero és un tema comú per a les demostracions falses, i fins i tot els passa als matemàtics experimentats. Permeteu-me donar-vos dos dels meus exemples preferits. El primer és algebraic. "Provaré" que tots els nombres són iguals. Suposem que hi ha dos nombres que no són iguals. Per tant, un d'ells és més gran que l'altre, sigui a > b. Suposem que c és la seva diferència
c \uXNUMXd a - b. Així tenim a - b = c, d'on a = b + c.
Multipliquem les dues parts d'aquesta última per a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Tradueixo ak al costat esquerre, per descomptat recordo el canvi de signe:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Exclou els factors comuns:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Comparteixo i tinc el que volia:
a = b.
I de fet encara més estrany, perquè vaig suposar que a > b, i vaig obtenir que a = b. Si a l'exemple anterior "enganyar" és fàcil de reconèixer, aleshores a la demostració geomètrica de sota no és tan fàcil. Demostraré que... el trapezi no existeix. La figura comunament anomenada trapezi no existeix.
Però suposem primer que hi ha una cosa com un trapezi (ABCD a la figura següent). Té dos costats paral·lels ("bases"). Estirem aquestes bases, tal com es mostra a la imatge, de manera que aconseguim un paral·lelogram. Les seves diagonals divideixen l'altra diagonal del trapezi en segments les longituds dels quals es denoten x, y, z, com en imatge 1. A partir de la semblança dels triangles corresponents, obtenim les proporcions:
on definim:
Oraz
on definim:
Resteu els costats de la igualtat marcats amb asteriscs:
Escurçant els dos costats en x − z, obtenim – a/b = 1, el que significa que a + b = 0. Però els nombres a, b són les longituds de les bases del trapezi. Si la seva suma és zero, també ho són. Això vol dir que una figura com un trapezi no pot existir! I com que els rectangles, els rombes i els quadrats també són trapezis, doncs, estimat lector, tampoc hi ha rombes, rectangles i quadrats...
Endevina Endevina
Compartir informació és la més interessant i desafiant de les quatre activitats bàsiques. Aquí, per primera vegada, ens trobem amb un fenomen tan habitual a l'edat adulta: "endevina la resposta, i després comprova si has encertat". Això ho expressa molt encertadament Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, a How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsòvia, 1997):
Aquest mètode d'"endevinar" no interfereix amb la nostra vida adulta, potser perquè ho aprenem aviat i endevinar no és difícil. Ideològicament, el mateix fenomen es produeix, per exemple, en la inducció (completa) matemàtica. Al mateix lloc, "endevinem" la fórmula i després comprovem si la nostra suposició és correcta. Els alumnes sempre pregunten: “Com vam conèixer el patró? Com es pot treure?" Quan els alumnes em fan aquesta pregunta, transformo la seva pregunta en una broma: "Ho sé perquè sóc professional, perquè em paguen per saber-ho". Els alumnes de l'escola se'ls pot respondre amb el mateix estil, però més seriosament.
Exercici. Tingueu en compte que comencem la suma i la multiplicació escrita amb la unitat més baixa i la divisió amb la unitat més alta.
Una combinació de dues idees
Els professors de matemàtiques sempre han assenyalat que el que anomenem separació d'adults és la unió de dues idees conceptualment diferents: Habitatge i separació.
El primer (Habitatge) es produeix en tasques on l'arquetip és:
Dividir-dividir Aquestes són tasques com ara:
? (Conservem l'estil original d'aquest problema, extret del manual de Julian Zgozalewicz publicat a Cracòvia el 1892: el złoty és el złoty renà, la moneda que va estar en circulació a l'Imperi austrohongarès fins a principis del segle XIX).
Ara considereu dos problemes amb el llibre de text de matemàtiques més antic en polonès, pare Tomasz Clos (1538). És una divisió o un coupé? Resoldre-ho com haurien de fer els escolars del segle XIX:
(Traducció del polonès al polonès: hi ha un quart i quatre pots en un barril. Una olla són quatre quarts. Algú va comprar 20 barrils de vi per 50 EUR per al comerç. Els impostos i impostos (impostos especials?) seran de 8 EUR. Quant vendre un quart per guanyar 8 EUR?)
Esports, física, congruència
De vegades en els esports has de dividir alguna cosa per zero (proporció de gols). Bé, els jutges d'alguna manera ho tracten. Tanmateix, en àlgebra abstracta estan a l'ordre del dia. quantitats diferents de zeroel quadrat del qual és zero. Fins i tot es pot explicar simplement.
Considereu una funció F que associa un punt (y, 0) amb un punt del pla (x, y). Què és F2, és a dir, una execució doble de F? Funció zero: cada punt té una imatge (0,0).
Finalment, les quantitats diferents de zero el quadrat de les quals és 0 són gairebé diaris per als físics, i els nombres de la forma a + bε, on ε ≠ 0, però ε2 = 0, diuen els matemàtics nombres dobles. Es donen en l'anàlisi matemàtica i en la geometria diferencial.
Al cap i a la fi, hi ha alguna cosa en aritmètica que té divisió per zero almenys en el nom. Prové de congruència. Sigui Z el conjunt de nombres enters. Dividir el conjunt Z per p vol dir que equiparem cada nombre (enter) a alguns altres, és a dir, a aquells pels quals la seva diferència és divisible. Així, quan tenim cinc tipus de nombres corresponents als nombres 0, 1, 2, 3, 4, les restes possibles quan es divideixen per 5. La fórmula s'escriu així:
mod quan la diferència és múltiple.
Per a = 2, només tenim dos nombres: 0 i 1. Dividir nombres enters en dues classes d'aquest tipus equival a dividir-los en parells i senars. Substituïm-lo ara. La diferència sempre és divisible per 1 (qualsevol nombre enter és divisible per 1). És possible prendre =0? Anem a provar: quan la diferència de dos nombres és múltiple de zero? Només quan aquests dos nombres són iguals. Per tant, dividir un conjunt de nombres enters per zero té sentit, però no és interessant: no passa res. Tanmateix, cal subratllar que no es tracta de divisió de nombres en el sentit conegut des de l'escola primària.
Aquestes accions estan simplement prohibides, així com les matemàtiques llargues i amples.
Arròs. 2. Identificació de nombres mitjançant la comparació
(mode 5 i mode 2)
