Viatge al món irreal de les matemàtiques

Vaig escriure aquest article en un dels entorns, després d'una conferència i pràctica en una universitat d'informàtica. Em defenso de les crítiques a l'alumnat d'aquesta escola, els seus coneixements, actitud davant la ciència, i el més important: habilitats docents. Això... ningú els ensenya.

Per què estic tan a la defensiva? Per una raó senzilla: estic en una edat en què, probablement, encara no s'entén el món que m'envolta. Potser els ensenyo a enganxar i desenganxar els cavalls, en lloc de conduir un cotxe? Potser els ensenyo a escriure amb una ploma? Encara que tinc una millor opinió de la persona, crec que "seguim", però...

Fins fa poc, a l'institut parlaven de nombres complexos. I va ser aquest dimecres que vaig tornar a casa, vaig renunciar, gairebé cap dels estudiants encara havia après què era i com utilitzar aquests números. Algunes persones miren totes les matemàtiques com una oca a una porta pintada. Però també em va sorprendre sincerament quan em van dir com aprendre. En poques paraules, cada hora de classe és dues hores d'estudi a casa: lectura d'un llibre de text, formació inicial per resoldre problemes sobre un tema determinat, etc. Preparats d'aquesta manera, arribem als exercicis, on ho millorem tot... Gratament, sembla que els alumnes pensaven que asseguts a una conferència -sovint mirant per la finestra- ja garanteix que els coneixements entraran al cap.

Atura! Ja n'hi ha prou. Descriuré la meva resposta a una pregunta que vaig rebre durant una classe amb becaris del National Children's Fund, una institució que dóna suport a nens amb talent d'arreu del país. La pregunta (o més aviat el suggeriment) era:

— Ens podries dir alguna cosa sobre els nombres irreals?

"Per descomptat", vaig respondre. 

La realitat dels números

"Un amic és un altre jo, l'amistat és la proporció dels números 220 i 284", va dir Pitàgores. El punt aquí és que la suma dels divisors del nombre 220 és 284 i la suma dels divisors del nombre 284 és 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Per cert, observem que el bíblic Jacob va donar a Esaú 220 ovelles i moltons com a senyal d'amistat (Gènesi 32:14). ).

Una altra coincidència interessant entre els nombres 220 i 284 és aquesta: els disset nombres primers més alts són 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , i 59.

La seva suma és 2x220, i la suma dels quadrats és 59x284.

Primer. No hi ha cap concepte de "nombre real". És com si després de llegir un article sobre elefants et preguntes: "Ara demanarem per no elefants". N'hi ha sencers i incomplets, racionals i irracionals, però no n'hi ha d'irreals. Concretament: Els nombres que no són reals no es diuen invàlids. Hi ha molts tipus de "nombres" en matemàtiques, i es diferencien entre si, com, per fer una comparació zoològica, un elefant i un cuc de terra.

En segon lloc, realitzarem operacions que potser ja sabeu que estan prohibides: agafar arrels quadrades de nombres negatius. Bé, les matemàtiques superaran aquestes barreres. Això sí que té sentit? En matemàtiques, com en qualsevol altra ciència: si una teoria entrarà per sempre al dipòsit del coneixement depèn... de la seva aplicació. Si és inútil, aleshores acaba a les escombraries, després a algunes escombraries de la història del coneixement. Sense els números dels que parlo al final d'aquest article, és impossible desenvolupar les matemàtiques. Però comencem amb algunes petites coses. Ja saps què són els números reals. Omplen la recta numèrica amb força i sense buits. També saps què són els nombres naturals: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - tots no encaixen memòria fins i tot la més gran. També tenen un nom preciós: natural. Tenen tantes propietats interessants. Com t'agrada això:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"És natural interessar-se pels nombres naturals", va dir Karl Lindenholm, i Leopold Kronecker (1823-1891) ho va dir de manera sucinta: "Déu va crear els nombres naturals; tota la resta és obra de l'home!" Les fraccions (anomenades nombres racionals pels matemàtics) també tenen propietats sorprenents:

i en igualtat:

podeu, començant pel costat esquerre, fregar els avantatges i substituir-los per signes de multiplicació, i la igualtat continuarà sent certa:

I així successivament.

Com sabeu, per a les fraccions a/b, on a i b són nombres enters, i b ≠ 0, diuen nombre racional. Però només en polonès es diuen així. Parlen anglès, francès, alemany i rus. nombre racional. En anglès: nombres racionals. Nombres irracionals és irracional, irracional. També parlem polonès sobre teories, idees i fets irracionals: això és una bogeria, imaginari, inexplicable. Diuen que les dones tenen por dels ratolins, no és tan irracional?

En l'antiguitat, els números tenien una ànima. Cadascun significava alguna cosa, cadascun simbolitzava alguna cosa, cadascun reflectia una partícula d'aquella harmonia de l'Univers, és a dir, en grec, el Cosmos. La mateixa paraula "cosmos" significa exactament "ordre, ordre". Els més importants eren sis (el nombre perfecte) i deu, la suma dels nombres consecutius 1+2+3+4, formats per altres nombres, la simbologia dels quals ha arribat fins als nostres dies. Així Pitàgores va ensenyar que els números són el principi i la font de tot, i només el descobriment nombres irracionals va convertir el moviment pitagòric cap a la geometria. Sabem el raonament de l'escola que

√2 és un nombre irracional

Perquè suposem que hi ha: i que aquesta fracció no es pot reduir. En particular, tant p com q són senars. Anem al quadrat: 2q²=p². El nombre p no pot ser senar, ja que aleshores p² també seria, i el costat esquerre de la igualtat és múltiple de 2. Per tant, p és parell, és a dir, p = 2r, per tant p²= 4r². Reduïm l'equació 2q²= 4r² per 2. Obtenim q²= 2r² i veiem que q també ha de ser parell, cosa que suposava que no és així. La contradicció resultant completa la demostració – aquesta fórmula es pot trobar sovint a tots els llibres de matemàtiques. Aquesta prova indirecta és una tècnica preferida dels sofistes.

Aquesta immensitat no la podien entendre els pitagòrics. Tot s'ha de poder descriure amb números, i la diagonal d'un quadrat, que qualsevol pot dibuixar amb un pal a través de la sorra, no té longitud, és a dir, mesurable. "La nostra fe va ser en va", semblen dir els pitagòrics. Com és això? És una mica... irracional. La Unió va intentar salvar-se per mètodes sectaris. Qualsevol que s'atreveixi a revelar la seva existència nombres irracionals, havia de ser castigat amb la mort, i, pel que sembla, la primera sentència la va dur a terme el mateix mestre.

Però "el pensament va passar il·lès". L'edat daurada ha arribat. Els grecs van derrotar els perses (Marató 490, Bloc 479). Es va reforçar la democràcia, van sorgir nous centres de pensament filosòfic i van sorgir noves escoles. Els pitagòrics encara estaven lluitant amb nombres irracionals. Alguns predicaven: no entendrem aquest misteri; només podem contemplar i meravellar-nos amb Uncharted. Aquests últims eren més pragmàtics i no respectaven el Misteri. En aquella època van aparèixer dues construccions mentals que van permetre entendre els nombres irracionals. El fet que avui els entenem prou bé pertany a Eudoxus (segle V aC), i només a finals del segle XIX el matemàtic alemany Richard Dedekind va donar a la teoria d'Eudoxus el desenvolupament adequat d'acord amb els requisits d'una rigorosa lògica matemàtica.

Massa de figures o tortures

Podries viure sense números? Encara que, quina mena de vida seria... Hauríem d'anar a la botiga a comprar sabates amb un pal, amb el qual prèviament vam mesurar la llargada del peu. "M'agradaria pomes, oh, aquí està!" – mostraríem als venedors al mercat. "A quina distància hi ha de Modlin a Nowy Dwór Mazowiecki"? "Molt a prop!"

Els números s'utilitzen per mesurar. També els fem servir per expressar molts altres conceptes. Per exemple, l'escala del mapa mostra quant ha disminuït l'àrea del país. L'escala de dos a un, o simplement 2, expressa el fet que alguna cosa s'ha duplicat. Diguem matemàticament: cada homogeneïtat correspon a un nombre, la seva escala.

Tasca. Hem fet una còpia xerogràfica, ampliant la imatge diverses vegades. A continuació, el fragment ampliat es va tornar a ampliar b vegades. Quina és l'escala general d'ampliació? Resposta: a × b multiplicat per b. Aquestes escales s'han de multiplicar. El nombre "menys un", -1, correspon a una precisió centrada, és a dir, girada 180 graus. Quin nombre correspon a un gir de 90 graus? No hi ha aquest nombre. És, és... o millor dit, serà aviat. Estàs preparat per a la tortura moral? Sigues valent i agafa l'arrel quadrada de menys u. Estic escoltant? Què no pots? Després de tot, t'he dit que sigues valent. Traieu-lo! Ei, bé, estira, estira... T'ajudaré... Aquí: -1 Ara que el tenim, mirem d'utilitzar-lo... Per descomptat, ara podem extreure les arrels de tots els nombres negatius, per exemple.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- "independentment de l'angoixa mental que això comporta". Això és el que va escriure Girolamo Cardano l'any 1539, intentant superar les dificultats mentals associades a -com aviat es va anomenar- quantitats imaginàries. Va considerar aquests...

...Tasca. Dividiu 10 en dues parts, el producte de les quals és igual a 40. Recordo que de l'episodi anterior va escriure una cosa així: Evidentment impossible. Tanmateix, fem això: dividim 10 en dues parts iguals, cadascuna igual a 5. Multipliqueu-les: obtenim 25. Del 25 resultant ara restem 40, si voleu, i obtenim -15. Ara mira: √-15 sumat i restant de 5 et dóna el producte de 40. Aquests nombres són 5-√-15 i 5 + √-15. El resultat va ser verificat per Cardano de la següent manera:

"Independentment de l'angoixa mental que això implica, multipliqueu 5 + √-15 per 5-√-15. Obtenim 25 – (-15), que és igual a 25 + 15. Per tant, el producte és 40…. És realment difícil".

Bé, quant és: (1 + √-1) (1-√-1)? Multipliquem-nos. Recordeu que √-1 × √-1 = -1. Genial. Ara una tasca més difícil: d'a + b√-1 a ab√-1. Què va passar? Certament, així: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Què té d'interessant això? Per exemple, el fet de poder factoritzar expressions que "abans no sabíem". La fórmula de multiplicació abreujada per²-b² Recordes la fórmula per?²+b² no ho era, perquè no podia ser. En el domini dels nombres reals, el polinomi²+b² és inevitable. Denotem "la nostra" arrel quadrada de "menys un" amb la lletra i.²= -1. És un nombre primer "irreal". I això és el que descriu un gir de 90 graus d'un avió. Per què? Després de tot,²= -1, i combinant una rotació de 90 graus amb una altra rotació similar produeix una rotació de 180 graus. Quin tipus de rotació es descriu? És clar: un gir de 45 graus. Què vol dir el número -i? És una mica més complicat:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Així que -i també descriu una rotació de 90 graus, just en la direcció oposada a la rotació de i. Quina és l'esquerra i quina és la dreta? Cal demanar cita prèvia. Suposem que el nombre i especifica una rotació en la direcció que els matemàtics consideren positiva: en sentit contrari a les agulles del rellotge. El número -i descriu la rotació en la direcció en què es mouen els punters.

Però existeixen nombres com i i -i? Són! Els acabem de donar vida. Estic escoltant? Que només existeixen al nostre cap? Bé, què esperar? Tots els altres nombres també existeixen només a la nostra ment. Hem de veure si el nostre nombre de nounats sobreviu. Més precisament, si el disseny és lògic i si seran útils per a alguna cosa. Si us plau, creieu la meva paraula que tot està en ordre i que aquests nous números són realment útils. Nombres com 3+i, 5-7i, de manera més general: a+bi s'anomenen nombres complexos. Us vaig mostrar com podeu aconseguir-los fent girar l'avió. Es poden introduir de diferents maneres: com a punts en un pla, com uns polinomis, com una mena de matrius numèriques... i cada vegada són iguals: l'equació x² +1=0 no hi ha cap element... hocus pocus ja hi és!!!! Alegrem-nos i alegrem-nos!!!

Final de la gira

Així conclou la nostra primera gira pel país dels números falsos. Dels altres nombres sobrenaturals, també esmentaré els que tenen un nombre infinit de dígits al davant, i no al darrere (s'anomenen 10-àdics, per a nosaltres els p-àdics són més importants, on p és un nombre primer), per exemple X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Comptem X si us plau². Com? Què passa si calculem el quadrat d'un nombre seguit d'un nombre infinit de dígits? Bé, fem el mateix. Sabem que x² = H.

Trobem un altre nombre amb un nombre infinit de dígits al davant que compleixi l'equació. Pista: el quadrat d'un nombre que acaba en sis també acaba en sis. El quadrat d'un nombre que acaba en 76 també acaba en 76. El quadrat d'un nombre que acaba en 376 també acaba en 376. El quadrat d'un nombre que acaba en 9376 també acaba en 9376. El quadrat d'un nombre que acaba en XNUMX. XNUMX el... També hi ha nombres tan petits que, sent positius, segueixen sent més petits que qualsevol altre nombre positiu. Són tan petites que de vegades n'hi ha prou de quadrar-les per aconseguir zero. Hi ha nombres que no compleixen la condició a × b = b × a. També hi ha nombres infinits. Quants nombres naturals hi ha? Infinitament molts? Sí, però quant? Com es pot expressar això com a nombre? Resposta: el més petit dels infinits nombres; està marcat amb una bella lletra: A i complementat amb un índex zero A₀ , alef-zero.

També hi ha números que no sabem que existeixen... o que pots creure o no creure com vulguis. I parlant d'això: espero que encara us agradin els números irreals, els números d'espècies de fantasia.