A QUI, és a dir: PROVEU ON POGUEU - part 2

En l'episodi anterior, vam tractar el Sudoku, un joc d'aritmètica en què els nombres s'organitzen bàsicament en diversos diagrames segons determinades regles. La variant més comuna és un tauler d'escacs 9×9, dividit a més en nou cel·les 3×3. Cal posar-hi els nombres de l'1 al 9 de manera que no es repeteixin ni en fila vertical (els matemàtics diuen: en columna) ni en fila horitzontal (els matemàtics diuen: en fila) - i, a més, perquè no es repeteixen. repeteix dins de qualsevol quadrat més petit.

Na fig. 1 veiem aquest trencaclosques en una versió més senzilla, que és un quadrat de 6 × 6 dividit en rectangles de 2 × 3. Hi inserim els números 1, 2, 3, 4, 5, 6, perquè no es repeteixin verticalment, tampoc horitzontalment, ni en cadascun dels hexàgons seleccionats.

Anem a provar de mostrar al quadrat superior. Pots omplir-lo amb números de l'1 al 6 segons les regles establertes per a aquest joc? És possible, però ambigu. A veure: dibuixa un quadrat a l'esquerra o un quadrat a la dreta.

Podem dir que aquesta no és la base del trencaclosques. Normalment assumim que un trencaclosques té una solució. La tasca de trobar diferents bases per al "gran" Sudoku, 9x9, és una tasca difícil i no hi ha possibilitats de resoldre-ho completament.

Una altra connexió important és el sistema contradictori. El quadrat inferior inferior (el que té el número 2 a la cantonada inferior dreta) no es pot completar. Per què?

Diversió i Retiros

Seguim jugant. Utilitzem la intuïció dels nens. Creuen que l'entreteniment és una introducció a l'aprenentatge. Anem a l'espai. encès fig. 2 tothom veu la graella tetraedrede pilotes, per exemple, pilotes de ping-pong? Recordeu les lliçons de geometria de l'escola. Els colors del costat esquerre de la imatge expliquen a què s'enganxa en muntar el bloc. En particular, s'enganxaran tres boles de cantonada (vermelles) en una. Per tant, han de ser el mateix nombre. Potser 9. Per què? I per què no?

Oh, no ho he dit tasques. Sona una cosa així: és possible inscriure els nombres del 0 al 9 a la graella visible de manera que cada cara contingui tots els números? La tasca no és difícil, però quant t'has d'imaginar! No espatllaré el plaer dels lectors i no donaré solució.

Aquesta és una forma molt bonica i subestimada. octaedre regular, construït a partir de dues piràmides (=piràmides) de base quadrada. Com el seu nom indica, l'octaedre té vuit cares.

Hi ha sis vèrtexs en un octaedre. Es contradiu cubque té sis cares i vuit vèrtexs. Les vores dels dos grumolls són les mateixes: dotze cadascuna. Això sòlids dobles - això vol dir que connectant els centres de les cares del cub obtenim un octaedre, i els centres de les cares de l'octaedre ens donaran un cub. Aquests dos cops funcionen ("perquè han de fer-ho") Fórmula d’Euler: La suma del nombre de vèrtexs i el nombre de cares és 2 més que el nombre d'arestes.

3. Un octaedre regular en projecció paral·lela i una xarxa d'octaedre composta per esferes de tal manera que cada aresta tingui quatre esferes.

Treball 1. Primer, escriu l'última frase del paràgraf anterior utilitzant una fórmula matemàtica. A la fig. 3 es veu una quadrícula octaèdrica, també formada per esferes. Cada vora té quatre boles. Cada cara és un triangle de deu esferes. El problema es planteja de manera independent: és possible posar nombres del 0 al 9 als cercles de la quadrícula de manera que després d'enganxar un cos sòlid, cada paret contingui tots els números (se'n dedueix sense repetició). Com abans, la major dificultat en aquesta tasca és com es transforma la malla en un cos sòlid. No puc explicar-ho per escrit, així que tampoc no dono la solució aquí.

4. Dos icosaedres de pilotes de ping-pong. Observeu l'esquema de colors diferent.

ja Plató (i va viure als segles V-IV aC) coneixia tots els poliedres regulars: tetraedre, cub, octaedre, dodecaedre i icosaedre. És increïble com va arribar allà: sense llapis, sense paper, sense bolígraf, sense llibres, sense telèfon intel·ligent, sense internet! No parlaré aquí del dodecaedre. Però el sudoku icosaèdric és interessant. Veiem aquest tros il·lustració 4i la seva xarxa fig. 5.

5. Malla regular de l'icosaedre.

Com abans, no es tracta d'una quadrícula en el sentit en què recordem (?!) de l'escola, sinó d'una manera d'enganxar triangles a partir de boles (pilotes).

Treball 2. Quantes boles es necessiten per construir un icosaedre així? Encara és cert el raonament següent: com que cada cara és un triangle, si hi ha d'haver 20 cares, calen fins a 60 esferes?

6. Quadrícula d'un icosaedre a partir d'esferes. Cada cercle és, per exemple, una pilota de ping-pong, però la construcció de cercles sobre cercles marcats amb el mateix color es fusiona en un de sol. Així tenim dotze esferes (= dotze vèrtexs: vermell, blau, morat, blau i vuit grocs).

És fàcil veure que tres nombres de l'icosaedre no són suficients. Més precisament: és impossible enumerar vèrtexs amb els números 1, 2, 3 de manera que cada cara (triangular) tingui aquests tres nombres i no hi hagi repeticions. És possible amb quatre números? Sí que és possible! Mirem-ho Arròs. 6 i 7.

7. A continuació s'explica com numerar les esferes que formen l'icosàedre de manera que cada cara contingui nombres diferents de l'1, 2, 3, 4. Quin dels cossos de la fig. 4 és de color així?

Treball 3. Tres dels quatre nombres es poden triar de quatre maneres: 123, 124, 134, 234. Troba cinc d'aquests triangles a l'icosaedre de la fig. 7 (així com de il·lustracions un).

Tasca 4 (requereix molt bona imaginació espacial). L'icosaedre té dotze vèrtexs, el que significa que es pot enganxar a partir de dotze boles (fig. 7). Tingueu en compte que hi ha tres vèrtexs (= boles) etiquetats amb 1, tres amb 2, i així successivament. Així, les boles del mateix color formen un triangle. Què és aquest triangle? Potser equilàter? Torna a mirar il·lustracions un.

La següent tasca per a l'avi / àvia i nét / néta. Finalment, els pares també poden provar-ho, però necessiten paciència i temps.

Treball 5. Compreu dotze (preferiblement 24) pilotes de ping-pong, uns quatre colors de pintura, un pinzell i la cola adequada; no en recomano les ràpides com Superglue o Droplet perquè s'assequen massa ràpidament i són perillosos per als nens. Enganxa a l'icosaedre. Vesteix la teva néta amb una samarreta que es rentarà (o es llençarà) immediatament després. Cobriu la taula amb paper d'alumini (preferiblement amb diaris). Acoloreix acuradament l'icosaedre amb quatre colors 1, 2, 3, 4, tal com es mostra a la fig. fig. 7. Podeu canviar l'ordre: primer acoloreu els globus i després enganxeu-los. Al mateix temps, cal deixar petits cercles sense pintar perquè la pintura no s'enganxi a la pintura.

Ara la tasca més difícil (més precisament, tota la seva seqüència).

Tasca 6 (Més concretament, el tema general). Traceu l'icosaedre com un tetraedre i un octaedre Arròs. 2 i 3 Això vol dir que hi hauria d'haver quatre boles a cada vora. En aquesta variant, la tasca requereix temps i fins i tot costosa. Comencem per saber quantes boles necessites. Cada cara té deu esferes, així que l'icosaedre necessita dues-centes? No! Hem de recordar que es comparteixen moltes pilotes. Quantes arestes té un icosaedre? Es pot calcular acuradament, però per a què serveix la fórmula d'Euler?

w–k+s=2

on w, k, s són el nombre de vèrtexs, arestes i cares, respectivament. Recordem que w = 12, s = 20, que vol dir k = 30. Tenim 30 arestes de l'icosàedre. Podeu fer-ho de manera diferent, perquè si hi ha 20 triangles, només tenen 60 arestes, però dos d'ells són comuns.

Calculem quantes boles necessites. A cada triangle només hi ha una bola interna, ni a la part superior del nostre cos, ni a la vora. Així, tenim un total de 20 boles d'aquest tipus. Hi ha 12 cims. Cada vora té dues boles sense vèrtex (estan dins de la vora, però no dins de la cara). Com que hi ha 30 bales, n'hi ha 60, però dues d'elles es comparteixen, la qual cosa significa que només necessiteu 30 bales, de manera que necessiteu un total de 20 + 12 + 30 = 62 bales. Les boles es poden comprar per almenys 50 cèntims (normalment més cares). Si hi afegim el cost de la cola, sortirà... molt. Una bona vinculació requereix diverses hores de treball minuciós. Junts són adequats per a un passatemps relaxant; els recomano en comptes, per exemple, de veure la televisió.

Retirada 1. A la sèrie de pel·lícules d'Andrzej Wajda Anys, Days, dos homes juguen als escacs "perquè d'alguna manera han de passar el temps fins al sopar". Té lloc a Cracòvia gallega. Efectivament: ja s'han llegit els diaris (aleshores tenien 4 pàgines), encara no s'han inventat la televisió i el telèfon, no hi ha partits de futbol. Avorriment als bassals. En aquesta situació, la gent es va proposar entreteniment per a elles mateixes. Avui els tenim després de prémer el comandament a distància...

Retirada 2. A la reunió del 2019 de l'Associació de Professors de Matemàtiques, un professor espanyol va demostrar un programa informàtic que pot pintar parets sòlides de qualsevol color. Va ser una mica esgarrifós, perquè només dibuixaven les mans, gairebé tallaven el cos. Vaig pensar per a mi mateix: quanta diversió pots tenir d'aquesta "ombra"? Tot dura dos minuts, i al quart no recordem res. Mentrestant, el "treball de costura" a l'antiga calma i educa. Qui no cregui, que ho provi.

Tornem al segle XNUMX i a les nostres realitats. Si no volem relaxar-se en forma d'enganxament laboriós de boles, dibuixarem almenys una graella d'icosaedre, les vores del qual tenen quatre boles. Com fer-ho? Talleu-ho bé fig. 6. El lector atent ja endevina el problema:

Treball 7. És possible enumerar les boles amb nombres del 0 al 9 de manera que tots aquests nombres apareguin a cada cara d'aquest icosaedre?

Per què ens paguen?

Avui sovint ens fem la pregunta del propòsit de les nostres activitats, i el "contribuent gris" preguntarà per què hauria de pagar als matemàtics per resoldre aquests enigmes?

La resposta és bastant senzilla. Aquests "trencaclosques", interessants en si mateixos, són "un fragment d'alguna cosa més seriosa". Després de tot, les desfilades militars són només una part exterior i espectacular d'un servei difícil. Posaré només un exemple, però començaré amb una assignatura de matemàtiques estranya però reconeguda internacionalment. L'any 1852, un estudiant anglès va preguntar al seu professor si era possible pintar un mapa amb quatre colors perquè els països veïns sempre es mostrin amb colors diferents? Permeteu-me afegir que no considerem "veïns" els que només es troben en un punt, com els estats de Wyoming i Utah als EUA. El professor no ho sabia... i el problema feia més de cent anys que esperava una solució.

8. Icosaedre de blocs RECO. Els reflectors de flaix mostren què té en comú l'icosaedre amb el triangle i el pentàgon. Cinc triangles convergeixen a cada vèrtex.

Va passar d'una manera inesperada. L'any 1976, un grup de matemàtics nord-americans va escriure un programa per resoldre aquest problema (i van decidir: sí, amb quatre colors sempre n'hi haurà prou). Aquesta va ser la primera prova d'un fet matemàtic obtingut amb l'ajuda d'una "màquina matemàtica" -com s'anomenava un ordinador fa mig segle (i fins i tot abans: "cervell electrònic").

Aquí teniu un "mapa d'Europa" especialment mostrat (fig. 9). Aquells països que tenen una frontera comuna estan connectats. Acolorir el mapa és el mateix que pintar els cercles d'aquest gràfic (anomenat gràfic) de manera que cap cercle connectat tingui el mateix color. Una ullada a Liechtenstein, Bèlgica, França i Alemanya demostra que tres colors no són suficients. Si ho desitja, lector, pinta-ho amb quatre colors.

9. Qui limita amb qui a Europa?

Bé, sí, però val la pena els diners dels contribuents? Per tant, mirem el mateix gràfic una mica diferent. Oblida't que hi ha estats i fronteres. Deixeu que els cercles simbolitzin paquets d'informació que s'han d'enviar d'un punt a un altre (per exemple, de P a EST), i els segments representen possibles connexions, cadascuna de les quals té el seu propi ample de banda. Enviar el més aviat possible?

En primer lloc, mirem una situació molt simplificada, però també molt interessant des del punt de vista matemàtic. Hem d'enviar alguna cosa des del punt S (= com a inici) al punt M (= final) utilitzant una xarxa de connexió amb la mateixa amplada de banda, per exemple 1. Ho veiem a fig. 10.

10. Xarxa de connexions de Statsyika Zdrój a Megapolis.

Imaginem que cal enviar uns 89 bits d'informació de S a M. A l'autor d'aquestes paraules li agraden els problemes dels trens, així que s'imagina que és gerent de Stacie Zdrój, des d'on ha d'enviar 144 vagons. a l'estació metropolitana. Per què exactament 144? Perquè, com veurem, això servirà per calcular el rendiment de tota la xarxa. La capacitat és d'1 a cada lot, és a dir. pot passar un cotxe per unitat de temps (un bit d'informació, possiblement també Gigabyte).

Assegurem-nos que tots els cotxes es troben alhora a M. Tothom hi arriba en 89 unitats de temps. Si tinc un paquet d'informació molt important de la S a la M per enviar, el divideixo en grups de 144 unitats i el passo com a anterior. Les matemàtiques garanteixen que això serà el més ràpid. Com vaig saber que necessites 89? De fet, ho vaig endevinar, però si no ho endevinava, hauria d'esbrinar-ho Equacions de Kirchhoff (algú se'n recorda? - aquestes són equacions que descriuen el flux del corrent). L'amplada de banda de la xarxa és 184/89, que és aproximadament igual a 1,62.

Sobre l'alegria

Per cert, m'agrada el número 144. M'agradava anar amb l'autobús amb aquest número fins a la plaça del Castell de Varsòvia, quan no hi havia cap castell reial restaurat al costat. Potser els lectors joves saben què són una dotzena. Això són 12 còpies, però només els lectors més grans en recorden una dotzena, és a dir. 122=144, aquest és l'anomenat lot. I tothom que conegui matemàtiques una mica més que el currículum escolar ho entendrà immediatament fig. 10 tenim nombres de Fibonacci i que l'amplada de banda de la xarxa és propera al "número daurat"

A la seqüència de Fibonacci, 144 és l'únic nombre que és un quadrat perfecte. Cent quaranta-quatre és també un "número alegre". Així és com un matemàtic aficionat indi Dattatreya Ramachandra Caprecar el 1955, va anomenar els nombres que són divisibles per la suma dels seus dígits constitutius:

Si ell ho sabés Adam Mickiewicz, sens dubte hauria escrit no a Dzyady: “D'una mare estranya; la seva sang són els seus vells herois / I el seu nom és quaranta-quatre, només més elegant: I el seu nom és cent quaranta-quatre.

Preneu-vos seriosament l'entreteniment

Espero haver convençut els lectors que els trencaclosques de Sudoku són el costat divertit de les preguntes que, sens dubte, mereixen ser preses seriosament. No puc desenvolupar aquest tema més. Oh, càlcul complet de l'ample de banda de la xarxa a partir del diagrama proporcionat fig. 9 escriure un sistema d'equacions necessitaria dues o més hores, potser fins i tot desenes de segons (!) de treball informàtic.