Quadrats de colors i eclipsis solars

L'article descriu les meves classes per a estudiants de secundària, becaris del Fons Nacional per a la Infància. La fundació busca nens i joves especialment dotats (des del grau XNUMX de primària fins a batxillerat) i ofereix "beques" a estudiants seleccionats. Tanmateix, no consisteixen en absolut a retirar diners en efectiu, sinó en una atenció integral per al desenvolupament del talent, per regla general, durant molts anys. A diferència de molts altres projectes d'aquest tipus, científics reconeguts, personalitats culturals, humanistes destacats i altres savis, així com alguns polítics, es prenen seriosament els barris de la Fundació.

L'activitat de la Fundació s'estén a totes les disciplines que són matèries bàsiques de l'escola, excepte les esportives, inclosa l'art. El fons va ser creat l'any 1983 com un antídot a la realitat d'aleshores. Qualsevol persona pot sol·licitar el fons (normalment a través d'una escola, preferiblement abans d'acabar el curs escolar), però, és clar, hi ha un cert sedàs, un cert procediment de qualificació.

Com ja he comentat, l'article està basat en les meves classes magistrals, concretament a Gdynia, el març de 2016, al 24è de secundària del III institut. Marina. Durant molts anys, aquests seminaris s'han organitzat sota els auspicis de la Fundació per Wojciech Thomalczyk, un professor d'extraordinari carisma i alt nivell intel·lectual. L'any 2008 va entrar entre els deu primers de Polònia, que van rebre el títol de professor de Pedagogia (establert per la llei fa molts anys). Hi ha una lleugera exageració en l'afirmació: "L'educació és l'eix del món".

i la lluna sempre són fascinants; llavors pots sentir que vivim en un planeta petit en un espai enorme, on tot està en moviment, mesurat en centímetres i segons. Fins i tot em fa una mica de por, també la perspectiva del temps. Ens assabentem que el proper eclipsi total, visible des de la zona de l'actual Varsòvia, serà el... 2681. Em pregunto qui ho veurà? Les mides aparents del Sol i la Lluna al nostre cel són gairebé les mateixes, per això els eclipsis són tan curts i tan espectaculars. Durant segles, aquests minuts curts haurien de ser suficients perquè els astrònoms vegin la corona solar. És estrany que passin dues vegades l'any... però això només vol dir que en algun lloc de la Terra es poden veure durant un curt període de temps. Com a resultat dels moviments de les marees, la Lluna s'allunya de la Terra: d'aquí a 260 milions d'anys estarà tan lluny que només veurem (nosaltres???) eclipsis anulars.

Pel que sembla, el primer a predir eclipsi, va ser Tales de Milet (segles 28-585 aC). Probablement no sabrem si realment va passar, és a dir, si ho va predir, perquè el fet que l'eclipsi d'Àsia Menor es va produir el maig del 567 del 566 aC és un fet confirmat pels càlculs moderns. Per descomptat, cito dades per al compte del temps d'avui. Quan era petit, m'imaginava com la gent comptava els anys. Així que això és, per exemple, XNUMX aC, s'acosta la nit de Cap d'Any i la gent s'alegra: només XNUMX anys aC! Què feliços havien d'estar quan per fi va arribar la "nostra era"! Quin canvi de mil·lennis que vam viure fa uns anys!

La matemàtica del càlcul de dates i intervals eclipsis, no és especialment complicat, però està ple de tot tipus de factors associats a la regularitat i, pitjor encara, al moviment desigual del cos en òrbites. Fins i tot m'agradaria saber aquestes matemàtiques. Com podria Tales de Milet fer els càlculs necessaris? La resposta és senzilla. Heu de tenir un mapa del cel. Com fer un mapa així? Això tampoc és difícil, els antics egipcis sabien com fer-ho. A mitjanit, dos sacerdots surten al terrat del temple. Cadascú d'ells s'asseu i dibuixa el que veu (com el seu company). Després de dos mil anys, ho sabem tot sobre el moviment dels planetes...

Bella geometria o diversió a la "catifa"

Als grecs no els agradaven els números, van recórrer a la geometria. Això és el que farem. El nostre eclipsi seran senzills, colorits, però igual d'interessants i reals. Acceptem la convenció que la figura blava es mou de tal manera que eclipsa la vermella. Anomenem la figura blava la lluna i la figura vermella el sol. Ens fem les preguntes següents:

1. quant de temps dura un eclipsi;
2. quan es cobreix la meitat de l'objectiu;

   Arròs. 1 "catifa" multicolor amb el sol i la lluna

3. quina és la cobertura màxima;
4. és possible analitzar la dependència de la cobertura de l'escut a temps? En aquest article (estic limitat per la quantitat de text) em centraré en la segona pregunta. Darrere d'això hi ha una geometria agradable, potser sense càlculs avorrits. Mirem la fig. 1. Es pot suposar que s'associarà a... un eclipsi solar?

Sincerament, he de dir que les tasques que comentaré seran especialment seleccionades, adaptades als coneixements i habilitats dels alumnes de cicle mitjà i batxillerat. Però entrenem en tasques com ara els músics toquen escales i els atletes fan exercicis generals de desenvolupament. A més, no és només una bonica catifa (fig. 1)?

Arròs. 2 Lluna "blava" i Sol "vermell".

Els nostres cossos celestes, almenys inicialment, seran quadrats de colors. La lluna és blava, el sol és vermell (millor per pintar). amb el present eclipsi La lluna persegueix el sol pel cel, l'atrapa... i el tanca. Amb nosaltres serà el mateix. El cas més senzill, quan la Lluna es mou en relació amb el Sol, com es mostra a la Fig. 2. Un eclipsi comença quan la vora del disc de la Lluna toca la vora del disc del Sol (Fig. 2) i acaba quan va més enllà.

Arròs. 3 La lluna s'acosta al sol en diagonal

Suposem que la "Lluna" mou una cel·la per unitat de temps, per exemple, per minut. Aleshores, l'eclipsi dura vuit unitats de temps, per exemple minuts. La meitat eclipsis solars completament atenuat La meitat del dial es tanca dues vegades: després de 2 i 6 minuts. El gràfic de percentatge d'enfosquiment és senzill. Durant els dos primers minuts, l'escut es tanca uniformement a una velocitat de zero a 1, els dos minuts següents s'exposa a la mateixa velocitat.

Aquí teniu un exemple més interessant (Fig. 3). La lluna s'acosta al sol en diagonal. Segons el nostre acord de pagament per minut, l'eclipsi dura 8√2 minuts - a la meitat d'aquest temps tenim un eclipsi total. Calculem quina part del sol queda coberta després del temps t (Fig. 3). Si han passat t minuts des de l'inici de l'eclipsi i, com a resultat, la Lluna és com es mostra a la Fig. 5, doncs (atenció!) Per tant, està cobert (l'àrea del quadrat APQR), igual a la meitat del disc solar; per tant, es va cobrir quan, és a dir. després de 4 minuts (després 4 minuts abans del final de l'eclipsi).

Arròs. 4 Gràfic de la funció "ombrejat".

Totalitat dura un moment (t = 4√2), i el gràfic de la funció "part ombrejada" consta de dos arcs de paràboles (Fig. 4).

La nostra lluna blava tocarà la cantonada amb el sol vermell, però la cobrirà, no anant en diagonal, sinó una mica en diagonal, apareix una geometria interessant quan complim una mica el moviment (Fig. 6). La direcció del moviment és ara vector [4,3], és a dir, "quatre cel·les a la dreta, tres cel·les cap amunt". La posició del Sol és tal que l'eclipsi comença (posició A) quan els costats dels "cossos celestes" convergeixen a un quart de la seva longitud. Quan la Lluna es mou a la posició B, eclipsarà una sisena part del Sol, i a la posició C eclipsarà la meitat. A la posició D, tenim un eclipsi total, i després tot torna enrere, "tal com era".

Arròs. 5 Part del Sol amagada durant el temps t

L'eclipsi acaba quan la Lluna està en la posició G. Va durar tant com longitud de la secció AG. Si, com abans, prenem com a unitat de temps el temps durant el qual la Lluna passa "un quadrat", aleshores la longitud de l'AG és igual. Si tornéssim a l'antiga convenció que els nostres cossos celestes són de 4 per 4, el resultat seria diferent (què?). Com és fàcil de mostrar, l'objectiu es tanca després de t < 15. El gràfic de la funció "percentatge de cobertura de pantalla" es pot veure a la fig. 6.

Arròs. 6 Gràfic de la funció "percentatge de protecció".

Equació d'eclipsi i salt

Arròs. 7 Obstrucció del disc solar durant l'eclipsi mostrat a la fig. 6

El problema dels eclipsis seria incomplet si no tinguéssim en compte el cas dels cercles. Això és molt més complicat, però intentem esbrinar quan un cercle eclipsa la meitat de l'altre i, en el cas més senzill, quan un d'ells es mou al llarg del diàmetre connectant-los tots dos. El dibuix és familiar per als titulars d'alguna targeta de crèdit.

Calcular la posició dels camps és complicat, ja que requereix, en primer lloc, el coneixement de la fórmula per a l'àrea d'un segment circular, en segon lloc, el coneixement de l'arc de l'angle i, en tercer lloc (i el pitjor de tot), la capacitat per resoldre una determinada equació de salt. No explicaré què és una "equació transitiva", mirem un exemple (Fig. 8).

Arròs. 8 Eclipsi "esfèric".

Una secció circular és el "bol" que queda després de tallar un cercle amb una línia recta. L'àrea d'aquest segment és S = 1/2r²(φ-sinφ), on r és el radi del cercle, i φ és l'angle central sobre el qual descansa el segment (Fig. 8). Això s'obté fàcilment restant l'àrea del triangle de l'àrea del sector circular.

Episodi O₁O₂ (la distància entre els centres dels cercles) és llavors igual a 2rcosφ/2, i l'alçada (amplada, “cintura”) h = 2rsinφ/2. Per tant, si volem calcular quan la Lluna cobrirà la meitat del disc solar, hem de resoldre l'equació: que, després de la simplificació, es converteix en:

Arròs. 9 Gràfiques de dues funcions

La solució d'aquestes equacions va més enllà de l'àlgebra simple: l'equació conté tant angles com les seves funcions trigonomètriques. L'equació està fora de l'abast dels mètodes tradicionals. Per això es diu saltar. Vegem primer els gràfics d'ambdues funcions, és a dir, funcions i funcions. Podem llegir una solució aproximada d'aquesta figura. Tanmateix, podem obtenir una aproximació iterativa o... utilitzar l'opció Solucionador del full de càlcul Excel. Tot estudiant de batxillerat hauria de poder fer-ho, perquè som el segle XX. Vaig utilitzar una eina de Mathematica més sofisticada i aquí teniu la nostra solució amb 20 decimals de precisió innecessària:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Arròs. 10 Animació d'eclipsi en matematica

Convertim això en graus multiplicant per 180/π. Aconseguim 132 graus, 20 minuts, 45 i quart de segon d'arc. Calculem que la distància al centre del cercle és O₁O₂ = 0,808 de radi i "cintura" 2,310.