Lem, Tokarchuk, Cracòvia, matemàtiques

Del 3 al 7 de setembre de 2019 va tenir lloc a Cracòvia el congrés d'aniversari de la Societat Polonesa de Matemàtiques. Aniversari, perquè el centenari de la fundació de la Societat. Va existir a Galícia des dels primers anys (sense l'adjectiu que el liberalisme polonès de l'emperador FJ1 tingués els seus límits), però com a organització d'àmbit nacional va funcionar només a partir de 1919. Els principals avenços de les matemàtiques poloneses es remunten als anys 1919-1939. XNUMX a la Universitat Jan Casimir de Lviv, però la convenció no va poder tenir lloc allà, i tampoc és la millor idea.

La trobada va ser molt festiva, plena d'actes acompanyants (incloent l'actuació de Jacek Wojcicki al castell de Niepolomice). Les conferències principals van ser pronunciades per 28 ponents. Estaven en polonès perquè els convidats eren polonesos, no necessàriament en el sentit de la ciutadania, sinó que es reconeixen a si mateixos com a polonesos. Sí, només tretze professors provenien d'institucions científiques poloneses, els quinze restants provenien dels EUA (7), França (4), Anglaterra (2), Alemanya (1) i Canadà (1). Bé, aquest és un fenomen conegut a les lligues de futbol.

Els millors actuen constantment a l'estranger. És una mica trist, però la llibertat és llibertat. Diversos matemàtics polonesos han fet carreres a l'estranger que són inabastables a Polònia. Els diners tenen un paper secundari aquí, però no vull escriure sobre aquests temes. Potser només dos comentaris.

A Rússia, i abans a la Unió Soviètica, això era i està al nivell més conscient... i d'alguna manera ningú vol emigrar-hi. Al seu torn, a Alemanya, una desena de candidats sol·liciten una càtedra a qualsevol universitat (col·legues de la Universitat de Constanza van dir que tenien 120 sol·licituds en un any, 50 de les quals eren molt bones i 20 excel·lents).

Poques de les conferències del Congrés Jubileu es poden resumir al nostre diari mensual. Encapçalaments com ara "Límits dels gràfics dispersos i les seves aplicacions" o "Estructura lineal i geometria de subespais i espais factorials per a espais normalitzats d'alta dimensionalitat" no diuen res al lector mitjà. El segon tema el va presentar el meu amic dels primers cursos, Nicole Tomchak.

Fa uns anys, va ser nominada per l'èxit presentat en aquesta conferència. Medalla Fields és l'equivalent per als matemàtics. De moment, només una dona ha rebut aquest premi. També cal destacar la conferència Anna Marciniak-Chokhra (Universitat de Heidelberg) "El paper dels models matemàtics mecanicistes en medicina sobre l'exemple del modelatge de la leucèmia".

va entrar en medicina. A la Universitat de Varsòvia, un grup dirigit pel Prof. Jerzy Tyurin.

El títol de la conferència serà incomprensible per als lectors Veslava Niziol (Escola Pedagògica Superior z prestiżowej) “-Teoria àdica de Hodge". No obstant això, és aquesta conferència la que he decidit parlar aquí.

Geometria -mons àdics

Comença amb petites coses senzilles. Recordes, lector, el mètode d'intercanvi escrit? Definitivament. Recordeu els anys sense preocupacions de l'escola primària. Dividiu 125051 per 23 (aquesta és l'acció de l'esquerra). Saps que pot ser diferent (acció a la dreta)?

Aquest nou mètode és interessant. Vaig des del final. Hem de dividir 125051 per 23. Per què hem de multiplicar 23 perquè l'última xifra sigui 1? Cerca a la memòria i tens :=7. L'última xifra del resultat és 7. Multiplica, resta, obtenim 489. Com es multiplica 23 per acabar amb 9? Per descomptat, per 3. Arribem al punt en què determinem tots els números del resultat. El trobem poc pràctic i més difícil que el nostre mètode habitual, però és qüestió de pràctica!

Les coses prenen un gir diferent quan l'home valent no està completament dividit pel divisor. Fem la divisió i a veure què passa.

A l'esquerra hi ha una típica pista escolar. A la dreta hi ha "els nostres estranys".

Podem comprovar tots dos resultats multiplicant. Entenem el primer: un terç del nombre 4675 és mil cinc-cents cinquanta-vuit, i tres en el punt. El segon no té sentit: quin és aquest nombre precedit d'un nombre infinit de sis i després 8225?

Deixem per un moment la qüestió del significat. Juguem. Per tant, dividim 1 per 3 i després 1 per 7, que és un terç i un setè. Podem obtenir fàcilment:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Aquesta darrera línia vol dir: el bloc 285714 es repeteix indefinidament al principi, i finalment n'hi ha tres. Per als que no s'ho creguin, aquí teniu una prova:

Ara sumem fraccions:

Aleshores sumem els números estranys rebuts i obtenim (comproveu) el mateix nombre estrany.

......95238095238095238095238010

Podem comprovar que això és igual a

L'essència encara està per veure, però l'aritmètica és correcta.

Un exemple més.

L'habitual, encara que gran, número 40081787109376 té una propietat interessant: la seva plaça també acaba en 40081787109376. el número x40081787109376, que és (x40081787109376)² també acaba en x40081787109376.

Consell. Tenim el 40081787109376²= 16065496340081787109376, de manera que el dígit següent és el complement de tres a deu, que és 7. Comprovem: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

La pregunta de per què és així és difícil. És més fàcil: trobar terminacions semblants per a nombres acabats en 5. Continuant amb el procés de trobar les xifres següents indefinidament, arribarem a aquests "nombres" que ²=²= (i cap d'aquests nombres és igual a zero o un).

ho entenem bé. Com més lluny després del punt decimal, menys important és el nombre. En els càlculs d'enginyeria, el primer dígit després del punt decimal és important, així com el segon, però en molts casos es pot suposar que la relació entre la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre és de 3,14. Per descomptat, cal incloure més números a la indústria de l'aviació, però no crec que n'hi hagin més de deu.

El nom apareixia al títol de l'article Stanislav Lem (1921-2006), així com el nostre nou premi Nobel. Senyora Olga Tokarchuk Només he esmentat això perquè cridant injustíciaEl cas és que Stanislav Lem no va rebre el Premi Nobel de Literatura. Però no és al nostre racó.

Lem sovint va preveure el futur. Es va preguntar què passaria quan es fessin independents dels humans. Quantes pel·lícules sobre aquest tema han aparegut darrerament! Lem va predir i descriure amb força precisió el lector òptic i la farmacologia del futur.

Sabia matemàtiques, encara que de vegades les tractava com un ornament, sense preocupar-se de la correcció dels càlculs. Per exemple, a la història "Trial", el pilot dels Pirks entra a l'òrbita B68 amb un període de rotació de 4 hores i 29 minuts, i la instrucció és de 4 hores i 26 minuts. Recorda que van calcular amb un error del 0,3 per cent. Ell dóna les dades a la Calculadora, i la calculadora respon que tot està bé... Bé, no. Tres dècimes per cent de 266 minuts són menys d'un minut. Però aquest error canvia alguna cosa? Potser va ser a propòsit?

Per què escric sobre això? Molts matemàtics també s'han plantejat aquesta pregunta: imaginar una comunitat. No tenen la nostra ment humana. Per a nosaltres, 1609,12134 i 1609,23245 són números molt propers: bones aproximacions a la milla anglesa. Tanmateix, els ordinadors poden considerar que els números 468146123456123456 i 9999999123456123456 són propers. Tenen les mateixes terminacions de dotze dígits.

Com més xifres són habituals al final, més propers són els números. I això porta a l'anomenada distància -àdic. Sigui p igual a 10 per un moment; per què només "per una estona", explicaré... ara. La distància de 10 punts dels nombres escrits a dalt és 

o una milionèsima, perquè aquests nombres tenen sis dígits comuns al final. Tots els nombres enters difereixen de zero en un o menys. Ni tan sols escriuré una plantilla perquè no importa. Com més nombres idèntics al final, més propers són els números (per a una persona, per contra, es consideren els números inicials). És important que p sigui un nombre primer.

Aleshores, els agraden els zeros i els uns, de manera que ho veuen tot en aquests patrons: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

A la novel·la Glos Pana, Stanisław Lem contracta científics per intentar llegir un missatge enviat des del més enllà, codificat zero-un, és clar. Algú ens escriu? Lem argumenta que “qualsevol missatge es pot llegir si és un missatge que algú ens ha volgut dir alguna cosa”. Però ho és? Deixaré els lectors amb aquest dilema.

Vivim en l'espai XNUMXD R³. Carta R recorda que els eixos consisteixen en nombres reals, és a dir, nombres enters, negatius i positius, zero, racionals (és a dir, fraccions) i irracionals, que els lectors van conèixer a l'escola (), i nombres coneguts com a nombres transcendentals, inaccessibles en àlgebra (és el nombre π). , que fa més de dos mil anys que connecta el diàmetre d'un cercle amb la seva circumferència).

I si els eixos del nostre espai fossin nombres -àdics?

Jerzy Mioduszowski, un matemàtic de la Universitat de Silèsia, argumenta que això podria ser així, i fins i tot que podria ser així. Podem (diu Jerzy Mioduszewski) ocupar el mateix lloc a l'espai amb aquests éssers, sense interferir i sense veure'ns.

Per tant, tenim tota la geometria del "seu" món per explorar. És poc probable que "ells" pensin de la mateixa manera sobre nosaltres i també estudien la nostra geometria, perquè el nostre és un cas límit de tots els "seus" mons. "Ells", és a dir, tots els mons infernals, on són nombres primers. En particular, = 2 i aquest món fascinant de zero-un...

Aquí el lector de l'article pot estar enfadat i fins i tot enfadat. "És aquest el tipus de tonteries que fan els matemàtics?" Fan fantasia amb beure vodka després de sopar, amb els meus diners (=del contribuent). I disperseu-los a quatre vents, deixeu-los anar a granges estatals... oh, ja no hi ha granges estatals!

Relaxa't. sempre van tenir una inclinació per aquestes bromes. Només esment el teorema de l'entrepà: si tinc un entrepà de formatge i pernil, el puc tallar en un sol tall per tal de reduir a la meitat el pa, el pernil i el formatge. Això és inútil a la pràctica. La qüestió és que aquesta és només una aplicació lúdica d'un teorema general interessant de l'anàlisi funcional.

Què tan seriós és tractar els nombres -àdics i la geometria relacionada? Permeteu-me que recordi al lector que els nombres racionals (simplement: fraccions) es troben densament a la línia, però no l'omplen de prop.

Els nombres irracionals viuen en "forats". N'hi ha moltes, infinitament, però també es pot dir que la seva infinitat és més gran que la de les més senzilles, en les quals comptem: un, dos, tres, quatre... i així fins a ∞. Aquest és el nostre farciment humà de "forats". Hem heretat aquesta estructura mental de pitagòrics. 

Però el que és interessant i important per a un matemàtic és que no es pot "omplir" aquests forats amb nombres irracionals i p-àdics (per a tots els primers p). Per a aquells lectors que ho entenguin (i això s'ensenyava a tots els instituts fa trenta anys), la qüestió és que cada seqüència que satisfà Estat de Cauchy, convergeix.

Un espai en què això és cert s'anomena complet ("no falta res"). Recordaré el número 547721051611007740081787109376.

La seqüència 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 i així successivament convergeix a un cert límit, que és aproximadament 0,5477210516110077400 81787109376.

Tanmateix, des del punt de vista de la distància de 10 àdics, la seqüència de nombres 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 i així successivament també convergeix al nombre "estrany" ... 547721051 611007740081787109376.

Però fins i tot això pot no ser motiu suficient per donar diners públics als científics. En general, nosaltres (els matemàtics) ens defensem dient que és impossible predir per a què serà útil la nostra recerca. És gairebé segur que tothom serà útil i que només l'acció en un front ampli té possibilitats d'èxit.

Un dels invents més grans, la màquina de raigs X, es va crear després que es descobrís accidentalment la radioactivitat becquerel. Si no fos per aquest cas, molts anys d'investigació probablement haurien estat inútils. "Estem buscant una manera de fer una radiografia del cos humà".

Finalment, el més important. Tothom està d'acord que la capacitat de resoldre equacions hi juga un paper. I aquí els nostres estranys números estan ben protegits. El teorema corresponent (Odio a Minkowski) diu que algunes equacions es poden resoldre en nombres racionals si i només si tenen arrels i arrels reals en cada cos -àdic.

Més o menys s'ha presentat aquest plantejament Andrew Wiles, que va resoldre l'equació matemàtica més famosa dels darrers tres-cents anys - recomano als lectors que l'introdueixin en un motor de cerca "L'últim teorema de Fermat".