encant invers

Es parla molt de la “bellesa dels contraris”, i no només en matemàtiques. Recordeu que els nombres oposats són els que només difereixen en signe: més 7 i menys 7. La suma dels nombres oposats és zero. Però per a nosaltres (és a dir, els matemàtics) els nombres recíprocs són més interessants. Si el producte dels nombres és igual a 1, aquests nombres són inversos entre si. Cada nombre té el seu contrari, tot nombre diferent de zero té el seu invers. La inversa de la inversa és la llavor.

La inversió es produeix allà on dues magnituds estan relacionades entre si de manera que si una augmenta, l'altra disminueix a la velocitat corresponent. "Corresponent" significa que el producte d'aquestes quantitats no canvia. Recordem des de l'escola: això és proporcionalitat inversa. Si vull arribar al meu destí a la meitat del temps (és a dir, reduir el temps a la meitat), he de duplicar la meva velocitat. Si reduïu n vegades el volum d'un recipient segellat amb gas, la seva pressió augmentarà n vegades.

A l'educació primària, distingim acuradament entre comparacions diferencials i relatives. "Quant més"? - "Quantes vegades més?"

Aquests són alguns dels actes de l'escola:

Treball 1. De dues quantitats positives, la primera és 5 vegades més gran que la segona i alhora 5 vegades més gran que la primera. Quines són les dimensions?

Treball 2. Si un nombre és més gran que el segon per 3, i el segon és més gran que el tercer per 2, llavors quant més gran és el primer nombre que el tercer? Si el primer nombre positiu és el doble del segon i el primer nombre és tres vegades el tercer, quantes vegades és més gran el primer nombre que el tercer?

Treball 3. A la tasca 2, només es permeten els nombres naturals. És possible un arranjament tal com es descriu allà?

Treball 4. De dues quantitats positives, la primera és 5 vegades més gran que la segona, i la segona és 5 vegades més gran que la primera. És possible?

El concepte de "mitjana" o "mitjana" sembla molt senzill. Si vaig fer 55 km el dilluns, 45 km el dimarts i 80 km el dimecres, vaig fer una mitjana de 60 km amb la meva bicicleta per dia. Estem totalment d'acord amb aquests càlculs, tot i que són una mica estranys perquè no he fet mai 60 km en un sol dia. També acceptem fàcilment les accions d'una persona: si dues-centes persones visiten un restaurant en sis dies, la tarifa mitjana diària és de 33 persones i una tercera persona. Hm!

Només hi ha problemes amb la mida mitjana. M'agrada anar en bicicleta. Així que vaig aprofitar l'oferta de l'agència de viatges "Vine amb nosaltres": entreguen l'equipatge a l'hotel on el client va en bicicleta amb finalitats recreatives. Divendres vaig conduir durant quatre hores: les dues primeres a una velocitat de 24 km per hora. Aleshores estava tan cansat que els dos següents només en feia 16 per hora. Quina era la meva velocitat mitjana? Per descomptat (24+16)/2=20km=20km/h.

Dissabte, però, l'equipatge es va deixar a l'hotel, i vaig anar a veure les ruïnes del castell, a 24 km, i, vistes, vaig tornar. Vaig conduir durant una hora en una direcció i vaig tornar més lent, a una velocitat de 16 km per hora. Quina era la meva velocitat mitjana a la ruta hotel-castell-hotel? 20 km per hora? És clar que no. Al cap i a la fi, he fet un total de 48 km i he trigat una hora (“allà”) i una hora i mitja enrere. 48 km en dues hores i mitja, és a dir. hora 48/2,5=192/10=19,2 km! En aquesta situació, la velocitat mitjana no és la mitjana aritmètica, sinó una harmònica dels valors donats:

i aquesta fórmula de dos pisos es pot llegir de la següent manera: la mitjana harmònica dels nombres positius és la recíproca de la mitjana aritmètica del seu recíproc. La inversa de la suma d'inversos apareix en molts cors de tasques escolars: si un treballador excava durant hores, l'altre durant b hores, aleshores, treballant junts, caven a temps. piscina amb aigua (una a una hora, una altra a les sis hores). Si una resistència té R1 i l'altra té R2, llavors tenen resistència paral·lela. 

Si un ordinador pot resoldre un problema en segons, un altre ordinador en b segons, llavors quan treballen junts...

Atura! Aquí és on acaba l'analogia, perquè tot depèn de la velocitat de la xarxa: l'eficiència de les connexions. Els treballadors també poden dificultar-se o ajudar-se mútuament. Si una persona pot excavar un pou en vuit hores, ho poden fer vuitanta treballadors en 1/10 d'hora (o 6 minuts)? Si sis porters porten un piano al primer pis en 6 minuts, quant de temps trigarà un d'ells a lliurar el piano al seixanta pis? L'absurd d'aquests problemes ens fa recordar l'aplicabilitat limitada de totes les matemàtiques als problemes de la "vida real".

Benvolgut venedor 

Les bàscules ja no s'utilitzen. Recordem que en un bol d'aquestes bàscules es posava un pes, la mercaderia que es pesava es posava a l'altra i, quan el pes estava en equilibri, la mercaderia pesava igual que el pes. Per descomptat, els dos braços del pes han de tenir la mateixa longitud, en cas contrari, el pes serà incorrecte.

Ah d'acord. Imagineu un venedor que té pes amb espatlles desiguals. Tanmateix, vol ser honest amb els clients i pesa la mercaderia en dos lots. Primer, col·loca un pes en una paella i una quantitat corresponent de mercaderies a l'altra, de manera que la balança estigui en equilibri. A continuació, pesa la segona "meitat" de la mercaderia en ordre invers, és a dir, col·loca el pes a la segona paella i la mercaderia a la primera. Com que les mans són desiguals, les meitats mai són iguals. I el venedor té la consciència tranquil·la, i els compradors lloen la seva honestedat: "el que va treure aquí, va afegir més tard".

Tanmateix, fem una ullada més de prop al comportament d'un venedor que vol ser honest malgrat el pes poc fiable. Que els braços de la balança tinguin longituds a i b. Si un dels bols està carregat amb un quilogram de pes, i l'altre està carregat amb x mercaderies, aleshores les bàscules estan en equilibri si ax = b la primera vegada i bx = a la segona vegada. Per tant, la primera part del producte és igual a b/a quilograms, la segona part és igual a a/b. Un bon pes té a = b, el que significa que el comprador rebrà 2 kg de mercaderies. Vegem què passa quan a ≠ b. Aleshores a – b ≠ 0 i de la fórmula de multiplicació abreujada tenim

Vam arribar a un resultat inesperat: el mètode aparentment just de mesurar la "mitjana" en aquest cas funciona en benefici del comprador, que rep més mercaderies.

Tasca 5. (Important, gens en matemàtiques!). Un mosquit pesa 2,5 mil·ligrams i un elefant cinc tones (aquesta és una dada força correcta). Calcula la mitjana aritmètica, geomètrica i harmònica de les masses (pesos) del mosquit i de l'elefant. Comproveu els càlculs i comproveu si tenen sentit més enllà dels exercicis aritmètics. Vegem altres exemples de càlculs matemàtics que no tenen sentit a la "vida real". Consell: ja hem mirat un exemple en aquest article. Vol dir això que l'estudiant anònim del qual vaig trobar l'opinió a Internet tenia raó: “Les matemàtiques enganyen la gent amb els números”?

Sí, estic d'acord que en la grandesa de les matemàtiques podeu "enganyar" la gent: cada segon anunci de xampú diu que augmenta el frizz en un percentatge. Buscarem més exemples d'eines diàries útils que es poden utilitzar per a activitats delictives?

Grams!

El títol d'aquest passatge és un verb (primera persona del plural) més que un substantiu (nominatiu plural d'una mil·lèsima part de quilogram). L'harmonia pressuposa ordre i música. Per als antics grecs, la música era una branca de la ciència; és cert que, si ho diem, estem traslladant el significat actual de la paraula "ciència" a l'època anterior a la nostra era. Pitàgores va viure al segle XNUMX aC No només no coneixia un ordinador, un telèfon mòbil i un correu electrònic, sinó que tampoc sabia qui eren Robert Lewandowski, Mieszko I, Carlemany i Ciceró. No coneixia els números àrabs ni tan sols romans (van entrar en ús cap al segle V aC), no sabia què eren les guerres púniques... Però sabia música...

Sabia que en els instruments de corda els coeficients de vibració són inversament proporcionals a la longitud de les parts vibrants de les cordes. Ell sabia, sabia, no podia expressar-ho com ho fem avui.

Les freqüències de les dues vibracions de corda que formen una octava estan en una proporció 1:2, és a dir, la freqüència de la nota més alta és el doble de la freqüència de la nota més baixa. La relació de vibració correcta per a la cinquena és 2:3, la quarta és 3:4, la tercera major pura és 4:5, la tercera menor és 5:6. Són intervals de consonants agradables. A continuació, n'hi ha dos neutres, amb proporcions de vibració de 6:7 i 7:8, després els dissonants: un to gran (8:9), un to petit (9:10). Aquestes fraccions (ràtios) són similars a les proporcions de termes successius d'una seqüència, que els matemàtics (per aquest mateix motiu) anomenen sèrie harmònica:

- teòricament una quantitat infinita. La proporció de vibracions d'octava es pot escriure com a 2:4 i posar una cinquena entre elles: 2:3:4, és a dir, dividim l'octava en una quinta i una quarta. Això s'anomena divisió de segment harmònic en matemàtiques:

Arròs. 1. Per a un músic: dividir l'octava AB per la cinquena AC.Per al matemàtic: segmentació harmònica

Què vull dir quan parlo (a dalt) d'una suma teòricament infinita, com ara una sèrie harmònica? Resulta que aquesta suma pot ser qualsevol nombre gran, el més important és que sumem prou temps. Els ingredients són cada cop menys, però cada cop n'hi ha més. Què preval? Aquí entrem en el camp de l'anàlisi matemàtica. Resulta que els ingredients s'esgoten, però no molt ràpidament. Mostraré que, amb els ingredients suficients, puc fer una suma:

arbitràriament gran. Prenem com a exemple n = 1024. Agrupem les paraules tal com es mostra a la figura:

En cada parèntesi, cada paraula és més gran que l'anterior, excepte, és clar, la darrera, que és igual a ella mateixa. En els parèntesis següents tenim 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 i 512 components; el valor de la suma de cada parèntesi és superior a ½. Tot això és més de 5½. Càlculs més precisos mostrarien que aquesta quantitat és d'aproximadament 7,50918. No gaire, però sempre, i podeu veure que agafant n qualsevol nombre, puc guanyar qualsevol número. Aquest creixement increïblement lent (per exemple, superem els deu només amb ingredients) però interminable sempre ha fascinat els matemàtics.

Viatge a l'infinit amb una sèrie harmònica

Aquí teniu un enigma per a unes matemàtiques molt serioses. Tenim una oferta il·limitada de blocs rectangulars (què estic dient, rectangulars!) amb unes dimensions, per exemple, 4 × 2 × 1. Considerem un sistema format per diversos (en fig. 2 - quatre) blocs situats de manera que el primer estigui inclinat ½ de la seva longitud, el segon des de dalt ¼ i així successivament, el tercer una sisena part. Bé, potser perquè sigui realment estable, inclinem el primer maó una mica menys. Per als càlculs això no importa.

Arròs. 2. Determinació del centre de gravetat

També és fàcil entendre que com que la figura formada pels dos primers blocs (comptant des de dalt) té un centre de simetria en el punt B, aleshores B és el centre de gravetat. Determinem geomètricament el centre de gravetat d'un sistema format per tres blocs superiors. Aquí n'hi haurà prou amb un argument molt senzill. Dividim mentalment la composició de tres blocs en dos superiors i un tercer inferior. Aquest centre ha de situar-se en la secció que uneix els centres de gravetat de les dues parts. En quin moment d'aquest episodi?

Hi ha dues maneres de designar. En el primer, utilitzarem l'observació que aquest centre hauria de situar-se al mig de la piràmide de tres blocs, és a dir, en la línia recta que talla el segon bloc central. En el segon mètode, ens adonem que com que els dos blocs superiors tenen una massa total el doble de la del bloc únic #3 (a dalt), el centre de gravetat en aquesta secció ha d'estar el doble de prop de B que del centre S del tercer. bloc. De la mateixa manera, trobem el punt següent: connectem el centre trobat dels tres blocs amb el centre S del quart bloc. El centre de tot el sistema es troba a l'alçada 2 i en el punt que divideix el segment per 1 a 3 (és a dir, per ¾ de la seva longitud).

Els càlculs que realitzarem una mica més ens porten al resultat que es mostra a la Fig. fig. 3. Els centres de gravetat successius s'eliminen de la vora dreta del bloc inferior mitjançant:

Així, la projecció del centre de gravetat de la piràmide està sempre dins de la base. La torre no s'enfonsarà. Ara mirem-ho fig. 3 i per un moment fem servir com a base el cinquè bloc des de dalt (el marcat amb un color més brillant). Superior inclinat:

així la seva vora esquerra està 1 més enllà de la vora dreta de la base. Aquí teniu el següent swing:

Quin és el gronxador més gran? Ja ho sabem! No hi ha el millor! Prenent fins i tot els blocs més petits, podeu obtenir un voladís d'un quilòmetre, malauradament, només matemàticament: la Terra sencera no seria suficient per construir tants blocs!

Arròs. 3. Afegiu més blocs

Ara els càlculs que hem deixat més amunt. Calcularem totes les distàncies "horitzontalment" a l'eix x, perquè d'això es tracta. El punt A (el centre de gravetat del primer bloc) es troba a 1/2 de la vora dreta. El punt B (el centre del sistema de dos blocs) es troba a 1/4 de la vora dreta del segon bloc. Sigui el final del segon bloc el punt de partida (ara passarem al tercer). Per exemple, on és el centre de gravetat del bloc únic número 3? La meitat de la longitud d'aquest bloc, per tant, s'elimina del nostre punt de referència per 1/2 + 1/4 = 3/4. On és el punt C? En dos terços del segment entre 3/4 i 1/4, és a dir, al punt a, canviem el punt d'inici a la vora dreta del tercer bloc. El centre de gravetat del sistema de tres blocs s'elimina ara del nou punt de referència, i així successivament. Centre de gravetat C_n d'una torre formada per n blocs es troba a 1/2 n del punt de referència instantani, que és la vora dreta del bloc base, és a dir, el bloc nè des de la part superior.

Com que la sèrie de recíprocs divergeix, podem obtenir qualsevol gran variació. Això realment es podria adonar? És com una torre de maó sense fi: tard o d'hora s'ensorrarà pel seu propi pes. En el nostre esquema, les imprecisions mínimes en la col·locació de blocs (i el lent augment de les sumes parcials de les files) fan que no arribarem gaire lluny.