Models simples amb comportament complex, és a dir, caos

L'ordinador és una eina cada cop més utilitzada pels científics per descobrir secrets amagats amb cura per la natura. El modelatge, juntament amb l'experimentació i la teoria, s'està convertint en la tercera manera d'estudiar el món.

Fa tres anys, a la Universitat de Silèsia, vam iniciar un programa per integrar mètodes informàtics a l'educació. Com a resultat, s'han creat un munt de materials didàctics molt engrescadors, que fan més fàcil i profund l'estudi de molts temes. Python va ser escollit com a eina principal, que, juntament amb la potència de les biblioteques científiques disponibles, és probablement la millor solució per a "experiments informàtics" amb equacions, imatges o dades. Una de les implementacions més interessants d'un banc de treball complet és Sage [2]. Es tracta d'una integració oberta d'un sistema d'àlgebra informàtica amb el llenguatge Python, i també permet començar a jugar immediatament utilitzant un navegador web i una de les possibles opcions d'accés a través d'un servei al núvol [3] o un únic servidor informàtic en el qual es troba l'interactiu. La versió d'aquest article es basa en [4] .

El caos en l'ecologia

Durant els primers anys a la Universitat d'Oxford, el científic australià Robert May va estudiar els aspectes teòrics de la dinàmica demogràfica. Va resumir el seu treball en un article que va aparèixer a la revista Nature sota el provocador títol "Models matemàtics simples amb dinàmiques molt complexes" [1]. Amb els anys, aquest article s'ha convertit en un dels treballs més citats en ecologia teòrica. Què va provocar tant interès en aquesta obra?

El problema clàssic de la dinàmica poblacional és calcular la població futura d'una espècie concreta, donat el seu estat actual. Matemàticament, els més simples eren els ecosistemes en què la vida d'una generació d'una població dura una temporada. Un bon exemple és una població d'insectes que pateixen una metamorfosi completa en una temporada, com les papallones. El temps es divideix naturalment en períodes discrets2 corresponents als cicles de vida de la població. Així, les equacions que descriuen aquest ecosistema tenen naturalment l'anomenat temps discret, és a dir. t = 1,2,3... Robert May va tractar aquestes dinàmiques, entre altres coses. En el seu raonament, va simplificar l'ecosistema a una sola espècie la població de la qual era una funció quadràtica de la població de l'any anterior. D'on ha sortit aquest model?

L'equació discreta més senzilla que descriu l'evolució d'una població és un model lineal:

on Ni és l'abundància a l'estació i, i Ni + 1 descriu la població de la temporada següent. És fàcil veure que aquesta equació pot donar lloc a tres escenaris. Quan a = 1, l'evolució no canviarà la mida de la població, i <1 condueix a l'extinció, i el cas a > 1 significa creixement demogràfic il·limitat. Això comportarà un desequilibri en la naturalesa. Com que tot a la natura és limitat, té sentit ajustar aquesta equació per tenir en compte la quantitat limitada de recursos. Imagineu que les plagues mengen gra, que cada any és exactament el mateix. Si els insectes són pocs en comparació amb la quantitat d'aliments que poden reproduir, poden reproduir-se a plena potència reproductiva, determinada matemàticament per la constant a > 1. Tanmateix, a mesura que augmenta el nombre de plagues, l'aliment serà escàs i la capacitat reproductiva disminuirà. En un cas crític, es pot imaginar que neixen tants insectes que mengen tot el gra abans de tenir temps de reproduir-se, i la població mor. Un model que té en compte aquest efecte d'accés limitat als aliments va ser proposat per primera vegada per Verhulst l'any 1838. En aquest model, la taxa de creixement no és constant, sinó que depèn de l'estat de la població:

La relació entre la taxa de creixement a i Ni hauria de tenir la propietat següent: si la població augmenta, la taxa de creixement hauria de disminuir perquè l'accés als aliments és difícil. Per descomptat, hi ha moltes funcions amb aquesta propietat: són funcions de dalt a baix. Verhulst va proposar la següent relació:

on a>0 i constant K>0 caracteritzen els recursos alimentaris i s'anomenen capacitat del medi. Com afecta un canvi de K a la taxa de creixement de la població? Si K augmenta, Ni/K disminueix. Al seu torn, això porta al fet que 1-Ni/K creix, el que significa que creix. Això vol dir que la taxa de creixement està augmentant i la població creix més ràpidament. Per tant, modifiquem el model anterior (1) suposant que la taxa de creixement canvia com a l'equació (3). Aleshores obtenim l'equació

Aquesta equació es pot escriure com una equació recursiva

on xi = Ni / K i xi + 1 = Ni + 1 / K denoten les poblacions reescalades en el temps i i el temps i + 1. L'equació (5) s'anomena equació logística.

Pot semblar que amb una modificació tan petita, el nostre model és fàcil d'analitzar. Anem a comprovar-ho. Considereu l'equació (5) per al paràmetre a = 0.5 a partir de la població inicial x0 = 0.45. Els valors de població seqüencials es poden obtenir mitjançant l'equació recursiva (5):

x₁= destral₀(1-x₀)

x₂= destral₁(1-x₁)

x₃= destral₂(1-x₂)

Per facilitar els càlculs a (6), podem utilitzar el següent programa (està escrit en Python i es pot executar, entre altres coses, a la plataforma Sage. Us recomanem que llegiu el llibre http://icse.us.edu .pl/e-book . ), imitant el nostre model:

a = 0.5 x = 0.45 per i dins el rang (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      imprimir x

Calculem valors successius de xi i observem que tendeixen a zero. Experimentant amb el codi anterior, també és fàcil veure que això és cert independentment del valor inicial de x0. Això vol dir que la població està morint constantment.

En la segona etapa de l'anàlisi, augmentem el valor del paràmetre a a qualsevol valor del rang ae (1,3). Resulta que aleshores la seqüència xi va a una certa quantitat x * > 0. Interpretant-ho des del punt de vista de l'ecologia, podem dir que la mida de la població està fixada en un determinat nivell, que no canvia d'estació a estació. . Val la pena assenyalar que el valor de x * no depèn de l'estat inicial x0. Aquest és l'efecte de l'esforç de l'ecosistema per l'estabilització: la població ajusta la seva mida a la capacitat d'alimentar-se. Matemàticament, es diu que el sistema tendeix a un punt fix estable, és a dir. satisfer la igualtat x = f(x) (això vol dir que en el moment següent l'estat és el mateix que en el moment anterior). Amb Sage, podem visualitzar aquesta evolució gràficament dibuixant la població al llarg del temps.

Aquest efecte d'estabilització s'esperava pels investigadors, i l'equació logística (5) no hauria cridat gaire l'atenció si no fos per una sorpresa. Va resultar que per a determinats valors del paràmetre, el model (5) es comporta de manera impredictible. En primer lloc, hi ha estats periòdics i multiperiòdics. En segon lloc, amb cada pas de temps, la població canvia de manera desigual, com un moviment aleatori. En tercer lloc, hi ha una gran sensibilitat a les condicions inicials: dos estats inicials gairebé indistinguibles condueixen a una evolució poblacional completament diferent. Tots aquests trets són característics d'un comportament que s'assembla a un moviment completament aleatori i s'anomena caos determinista.

Explorem aquesta propietat!

Primer, posem el valor del paràmetre a = 3.2 i observem l'evolució. Pot semblar sorprenent que aquesta vegada la població no arribi a un valor, sinó a dos, que es produeixen consecutivament cada segona temporada. No obstant això, va resultar que els problemes no van acabar aquí. Amb a = 4, el sistema ja no és predictible. Mirem la figura (2) o generarem nosaltres mateixos una seqüència de nombres amb un ordinador. Els resultats semblen ser purament aleatoris i força diferents per a poblacions inicials lleugerament diferents. Tanmateix, el lector atent ha d'oposar-se. Com pot un sistema descrit per una equació determinista1, fins i tot una molt simple, comportar-se de manera impredictible? Bé, potser.

Una característica d'aquest sistema és la seva notable sensibilitat a les condicions inicials. N'hi ha prou amb començar amb dues condicions inicials que difereixen en una milionèsima part, i en pocs passos obtindrem valors poblacionals completament diferents. Comprovem a l'ordinador:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] per i dins el rang (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) imprimir x, y

Aquí teniu un model senzill d'evolució determinista. Però aquest determinisme és enganyós, només és determinisme matemàtic. Des d'un punt de vista pràctic, el sistema es comporta de manera imprevisible perquè mai no podem establir les condicions inicials de manera matemàtica exacta. De fet, tot es determina amb una certa precisió: cada instrument de mesura té una certa precisió, i això pot provocar impredictibilitat pràctica en sistemes deterministes que tenen la propietat del caos. Un exemple són els models de previsió meteorològica, que sempre presenten una propietat del caos. Per això les previsions meteorològiques a llarg termini són tan dolentes.

L'anàlisi de sistemes caòtics és extremadament difícil. Tanmateix, podem resoldre molts dels misteris del caos amb força facilitat amb l'ajuda de simulacions per ordinador. Dibuixem l'anomenat diagrama de bifurcació, en el qual col·loquem els valors del paràmetre a al llarg de l'eix d'abscisses i punts fixos estables de la cartografia logística al llarg de l'eix d'ordenades. Aconseguim punts estables simulant un gran nombre de sistemes al mateix temps i traçant valors després de molts temps de mostra. Com podeu suposar, això requereix molts càlculs. Intentem processar "de manera ordenada" els valors següents:

importar numpy com a np Nx = 300 Això = 500 x = np.linspace(0,1, nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transposar (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) per i dins el rang (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] per a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] punt (pt, mida = 1, mida de la figura = (7,5))

Hauríem d'obtenir alguna cosa semblant a la figura (3). Com interpretar aquest dibuix? Per exemple, amb el valor del paràmetre a = 3.3, tenim 2 punts fixos estables (la mida de la població és la mateixa cada segona temporada). Tanmateix, per al paràmetre a = 3.5 tenim 4 punts constants (cada quarta temporada la població té el mateix nombre), i per al paràmetre a = 3.56 tenim 8 punts constants (cada vuitena temporada la població té el mateix nombre). Però per al paràmetre a≈3.57, tenim una infinitat de punts fixos (la mida de la població mai es repeteix i canvia de manera imprevisible). Tanmateix, amb un programa informàtic, podem canviar l'abast del paràmetre a i explorar l'estructura geomètrica infinita d'aquest diagrama amb les nostres pròpies mans.

Això és només la punta de l'iceberg. S'han escrit milers d'articles científics sobre aquesta equació, però encara amaga els seus secrets. Amb l'ajuda de la simulació per ordinador, podeu, sense ni tan sols recórrer a les matemàtiques superiors, jugar al pioner del món de la dinàmica no lineal. Us convidem a llegir la versió en línia que conté detalls sobre moltes de les propietats interessants de l'equació logística i maneres interessants de visualitzar-les.

¹ Una llei determinista és una llei en la qual el futur està determinat únicament per l'estat inicial. L'antònim és la llei probabilística. ² En matemàtiques, "discret" significa obtenir valors d'un determinat conjunt comptable. El contrari és "continu".