Article sobre res

De petit em fascinava la història, segurament coneguda per molts lectors, sobre “la sopa d'un clau”. La meva àvia (segle XNUMX de naixement) m'ho va dir a la versió "El cosac va venir i va demanar aigua, perquè té un clau i hi cuinarà sopa". La curiosa hostessa li va donar una olla d'aigua... i sabem què va passar després: “la sopa ha de ser salada, daitye, àvia, sal”, després va rentar la carn “per millorar el gust” i així successivament. Al final, va llençar el clau "bullit".

Així que se suposava que aquest article havia de tractar sobre el buit de l'espai, i es tracta de l'aterratge d'un aparell europeu al cometa 67P / Churyumov-Gerasimenko el 12 de novembre de 2014. Però mentre escrivia, vaig sucumbir a un hàbit de llarga data, Encara sóc matemàtic. Com és amb M'agradaс Zero matemàtiques?

Com no existeix Res?

No es pot dir que no existeix res. Existeix almenys com a concepte filosòfic, matemàtic, religiós i perfectament col·loquial. Zero és un nombre normal, zero graus en un termòmetre també és una temperatura i un saldo zero en un banc és un fet desagradable però comú. Tingueu en compte que no hi ha un any zero a la cronologia, i això es deu al fet que el zero es va introduir a les matemàtiques només a la baixa edat mitjana, més tard que la cronologia proposada pel monjo Dionís (segle XIX).

Curiosament, realment podríem prescindir d'aquest zero i, per tant, sense nombres negatius. En un dels llibres de text de lògica he trobat un exercici: dibuixar o dir com t'imagines l'absència de peixos. Increïble, no? Qualsevol pot dibuixar un peix, però no un?

Ara breument curs bàsic de matemàtiques. Atorgar el privilegi d'existència al conjunt buit marcat amb un cercle ratllat ∅ és un procediment necessari anàleg a afegir zero al conjunt de nombres. El conjunt buit és l'únic conjunt que no conté cap element. Aquestes col·leccions:

Però no hi ha dos conjunts buits diferents. El conjunt buit s'inclou a tots els altres conjunts:

De fet, les regles de la lògica matemàtica diuen que el conjunt A està contingut en el conjunt B si i només si l'oració:

això comporta

En el cas del conjunt buit ∅, la proposició és sempre falsa i, per tant, segons les lleis de la lògica, la implicació és generalment certa. Tot neix d'una mentida (“aquí faré créixer un cactus si passes a la següent classe...”). Així, com que el conjunt buit està contingut en cadascun dels altres, aleshores si fossin dos diferents, cadascun d'ells estaria contingut en l'altre. Tanmateix, si dos conjunts estan continguts entre si, són iguals. Per això: només hi ha un conjunt buit!

El postulat de l'existència d'un conjunt buit no contradiu cap llei de les matemàtiques, per què no donar-li vida? El principi filosòfic anomenatLa navalla d'Occam» Una ordre per excloure conceptes innecessaris, però just el concepte de conjunt buit és molt útil en matemàtiques. Tingueu en compte que el conjunt buit té una dimensió de -1 (menys un) - els elements de dimensió zero són punts i els seus sistemes dispersos, els elements unidimensionals són línies, i hem parlat d'elements matemàtics molt complexos amb dimensió fractal al capítol de fractals. .

És interessant que tot l'edifici de les matemàtiques: nombres, nombres, funcions, operadors, integrals, diferencials, equacions... es pugui derivar d'un concepte: un conjunt buit! N'hi ha prou de suposar que hi ha un conjunt buit, els elements de nova creació es poden combinar en conjunts per poder construir totes les matemàtiques. Així és com el lògic alemany Gottlob Frege va construir els nombres naturals. El zero és una classe de conjunts els elements dels quals estan en correspondència mútua amb els elements del conjunt buit. Un és una classe de conjunts els elements dels quals estan en correspondència mútua amb els elements d'un conjunt l'únic element del qual és el conjunt buit. Dos és una classe de conjunts els elements dels quals són un a un amb els elements del conjunt format pel conjunt buit i el conjunt l'únic element del qual és el conjunt buit... i així successivament. A primera vista, sembla una cosa molt complicada, però de fet no ho és.

El blau es va estendre sobre mi

feia olor de bruc i feia olor de menta...

Wojciech Mlynarski, noia de la collita

És difícil d'imaginar

Res és difícil d'imaginar. A la història de Stanisław Lem "Com es va salvar el món", el dissenyador Trurl va construir una màquina que ho faria tot començant per una lletra. Quan Klapaucius va ordenar que es construís Nic, la màquina va començar a eliminar diversos objectes del món, amb l'objectiu final d'eliminar-ho tot. Quan l'espantat Klapaucius va aturar el cotxe, galeres, teixos, penjades, pirates, rimes, batedors, pufs, molinets, broquetes, filidres i gelades havien desaparegut del món per sempre. I de fet, van desaparèixer per sempre...

Józef Tischner va escriure molt bé sobre el no-res a la seva Història de la filosofia de la muntanya. Durant les meves últimes vacances, vaig decidir experimentar aquest no-res, és a dir, vaig anar a les torberes entre Nowy Targ i Jabłonka a Podhale. Aquesta zona fins i tot es diu Pustachia. Vas, vas, però el camí no disminueix, és clar, a la nostra modesta escala polonesa. Un dia vaig agafar un autobús a la província canadenca de Saskatchewan. A fora hi havia un camp de blat de moro. Vaig fer una migdiada durant mitja hora. Quan em vaig despertar, anàvem conduint pel mateix camp de blat de moro... Però espera, està buit? En cert sentit, l'absència de canvi és només buit.

Estem acostumats a la presència constant de diversos objectes al nostre voltant, i des de Alguna cosa no pots fugir ni amb els ulls tancats. "Penso, per tant sóc", va dir Descartes. Si ja he pensat alguna cosa, aleshores existeixo, el que vol dir que almenys hi ha alguna cosa al món (és a dir, jo). El que jo pensava existeix? Això es pot discutir, però en la mecànica quàntica moderna es coneix el principi de Heisenberg: cada observació pertorba l'estat de l'objecte observat. Fins que ho veiem Nic no existeix, i quan comencem a mirar, l'objecte deixa de ser M'agrada i esdevé Alguna cosa. S'està tornant absurd principi antròpic: No té sentit preguntar-se com seria el món si no existissim. El món és el que ens sembla. Potser altres éssers veuran la Terra com a angular?

Un positró (com un electró positiu) és un forat a l'espai, "no hi ha electró". En el procés d'aniquilació, l'electró salta a aquest forat i "no passa res": no hi ha forat, ni electró. Em saltaré moltes bromes sobre els forats al formatge suís ("com més tinc, menys hi ha..."). El famós compositor John Cage ja havia utilitzat les seves idees fins a tal punt que va compondre (?) una peça musical (?) en què l'orquestra s'asseu immòbil durant 4 minuts 33 segons i, és clar, no toca res. "Quatre minuts i trenta-tres segons són dos-cents setanta-tres, 273, i menys 273 graus és zero absolut, en el qual s'atura tot el moviment", va explicar el compositor (?).

Filtra a zero, res, nick, nick, res, zero!

Jerzy a la pel·lícula d'Andrzej Wajda Over the Years,

passen els dies"

Què tal tots?

Molta gent (des de simples agricultors fins a filòsofs destacats) es va preguntar sobre el fenomen de l'existència. En matemàtiques, la situació és senzilla: hi ha quelcom que és coherent.

Va desaparèixer als camps marginals

A blat de moro, males herbes i boques de lleó...

Bé, passen coses com aquesta

Sobretot a la verema, i durant la verema

sobretot…

Wojciech Mlynarski, noia de la collita

Tot està a l'altre extrem del no-res. En matemàtiques, això ho sabem Tot no existeix. Només una noció massa inexacta que la seva existència estaria lliure de controvèrsia. Això es pot entendre amb l'exemple de la vella paradoxa: "Si Déu és omnipotent, llavors creeu una pedra per recollir?" La demostració matemàtica que no hi pot haver conjunts de tots els conjunts es basa en el teorema cantant-Bershtein, que diu que "un nombre infinit" (matemàtic: Número cardinal) el conjunt de tots els membres d'un conjunt donat és més gran que el nombre d'elements d'aquest conjunt.

Si un conjunt té elements, en té 2ⁿ subconjunts; per exemple, quan = 3 i el conjunt consta de {1, 2, 3}, existeixen els subconjunts següents:

• tres conjunts de dos elements: a cadascun d'ells li falta un dels números 1, 2, 3,
• un conjunt buit,
• tres conjunts d'un element,
• tot el conjunt {1,2,3}

- només vuit, 2³I lectors recentment graduats de l'escola, m'agradaria recordar la fórmula corresponent:

Cadascun dels símbols newtonians d'aquesta fórmula determina el nombre de conjunts d'elements k en el conjunt d'elements -.

En matemàtiques, els coeficients binomials apareixen en molts altres llocs, com en fórmules interessants per a la multiplicació reduïda:

i des de la seva forma exacta, la seva interdependència és molt més interessant.

És difícil entendre què és, pel que fa a la lògica i les matemàtiques, i què no és Tot. Arguments per la inexistència Igual que el de Winnie the Pooh, que va preguntar educadament al seu convidat, Tiger, als Tigres els agrada la mel, les glans i els cards? "Als tigres els agrada tot", va respondre el que en Kubus va concloure que si els agrada tot, també els agrada dormir a terra, per tant, ell, Vinnie, pot tornar al llit.

Un altre argument La paradoxa de Russell. Hi ha un barber a la ciutat que s'afaita tots els homes que no s'afaiten. S'afaita ell mateix? Ambdues respostes contradiuen la condició plantejada de matar aquells i només aquells que no ho fan ells mateixos.

Buscant una col·lecció de totes les col·leccions

En conclusió, donaré una prova intel·ligent, però més matemàtica, que no hi ha cap conjunt de tots els conjunts (que no s'ha de confondre amb ella).

En primer lloc, mostrarem que per a qualsevol conjunt X no buit, és impossible trobar una funció mútuament única que mapeï aquest conjunt al conjunt dels seus subconjunts P(X). Per tant, suposem que aquesta funció existeix. Denotem-ho amb la f tradicional. Què és f de x? Aquesta és una col·lecció. Xf pertany a x? Això és desconegut. O has de fer-ho o no. Però per a alguns x encara ha de ser tal que no pertanyi a f de x. Bé, doncs considerem el conjunt de tots els x per als quals x no pertany a f(x). Denoteu-lo (aquest conjunt) per A. Correspon a algun element a del conjunt X. A pertany a A? Suposem que ho hauria de fer. Però A és un conjunt que conté només aquells elements de x que no pertanyen a f(x)... Bé, potser no pertany a A? Però el conjunt A conté tots els elements d'aquesta propietat, i per tant també A. Final de la demostració.

Per tant, si hi hagués un conjunt de tots els conjunts, ell mateix seria un subconjunt de si mateix, cosa que és impossible segons el raonament anterior.

Uf, no crec que molts lectors hagin vist aquesta prova. Més aviat, el vaig plantejar per mostrar què havien de fer els matemàtics a finals del segle XIX, quan van començar a estudiar els fonaments de la seva pròpia ciència. Va resultar que els problemes es troben on ningú els esperava. A més, per al conjunt de les matemàtiques, aquests raonaments sobre les bases no tenen importància: passi el que passi als cellers: tot l'edifici de les matemàtiques s'aixeca sobre una roca sòlida.

Mentrestant, al cim...

Observem una moral més de les històries de Stanislav Lem. En un dels seus viatges, Iyon Tichi va arribar a un planeta els habitants del qual, després d'una llarga evolució, van arribar finalment a la fase més alta de desenvolupament. Tots són forts, poden fer qualsevol cosa, ho tenen tot al seu abast... i no fan res. S'estiren a la sorra i l'aboquen entre els dits. "Si tot és possible, no val la pena", expliquen a l'ijon commocionat. Que això no passi a la nostra civilització europea...