Equacions, codis, xifres, matemàtiques i poesia

Michal Shurek diu sobre si mateix: "Vaig néixer el 1946. Em vaig graduar a la Universitat de Varsòvia l'any 1968 i des de llavors treballo a la Facultat de Matemàtiques, Informàtica i Mecànica. Especialitat científica: geometria algebraica. Recentment he tractat amb paquets vectorials. Què és un feix vectorial? Per tant, els vectors han d'estar ben lligats amb un fil, i ja en tenim un munt. El meu amic físic Anthony Sim em va fer unir-me al jove tècnic (admet que hauria de rebre drets d'autor dels meus honoraris). Vaig escriure uns quants articles i després em vaig quedar, i des del 1978 pots llegir cada mes el que penso de les matemàtiques. M'encanta la muntanya i, tot i tenir sobrepès, intento caminar. Crec que els mestres són els més importants. Jo mantindria els polítics, siguin quines siguin les seves opcions, en una zona molt vigilada perquè no puguin escapar. Alimentar un cop al dia. Un beagle de Tulek m'agrada.

Una equació és com un xifrat per a un matemàtic. La resolució d'equacions, la quinta essència de les matemàtiques, és la lectura del text xifrat. Això ha estat observat pels teòlegs des del segle XIX. Joan Pau II, que sabia matemàtiques, ho va escriure i esmentar diverses vegades en els seus sermons; malauradament, els fets s'han esborrat de la meva memòria.

A la ciència escolar, està representada Pitàgores com a autor del teorema d'alguna dependència en un triangle rectangle. Així que va passar a formar part de la nostra filosofia eurocèntrica. I tanmateix Pitàgores té moltes més virtuts. Va ser ell qui va imposar als seus alumnes el deure de "conèixer el món", des de "què hi ha darrere d'aquest turó?" abans d'estudiar les estrelles. És per això que els europeus van "descobrir" civilitzacions antigues, i no a l'inrevés.

Alguns lectors recordenViète patronsi"; molts lectors més grans recorden el terme en si de l'escola i aproximadament el fet que la pregunta apareixia en equacions de segon grau. Aquestes regularitats són "ideològicament" xifratge informació.

No és estrany François Viette (1540-1603) es va dedicar a la criptografia a la cort d'Enric IV (el primer rei francès de la dinastia borbònica, 1553-1610) i va aconseguir trencar el xifrat utilitzat pels britànics en la guerra amb França. Així que va jugar el mateix paper que els matemàtics polonesos (dirigits per Marian Rejewski) que van descobrir els secrets de la màquina de xifratge alemanya Enigma abans de la Segona Guerra Mundial.

tema de moda

Exactament. El tema "codis i xifratge" fa temps que s'ha posat de moda a l'ensenyament. Ja n'he escrit diverses vegades, i d'aquí a dos mesos hi haurà una altra sèrie. Aquesta vegada escric sota la impressió d'una pel·lícula sobre la guerra de 1920, on la victòria es va deure en gran part al trencament del codi de les tropes bolxevics per part d'un equip dirigit pel llavors jove. Vaclav Sierpinski (1882-1969). No, encara no és Enigma, és només una introducció. Recordo una escena de la pel·lícula on Józef Piłsudski (interpretat per Daniil Olbrychski) li diu al cap del departament de xifratge:

Els missatges descodificats portaven un missatge important: les tropes de Tukhatxevski no rebrien suport. Pots atacar!

Coneixia a Vaclav Sierpinski (si em permeto dir-ho: jo era un jove estudiant, era un professor famós), assistia a les seves conferències i seminaris. Donava la impressió d'un estudiós marcit, distret, ocupat amb la seva disciplina i sense veure l'altre món. Va donar una conferència específica, mirant a la pissarra, sense mirar el públic... però se sentia un especialista destacat. D'una manera o altra, tenia certes habilitats matemàtiques, per exemple, per resoldre problemes. N'hi ha d'altres, científics que són relativament dolents a l'hora de resoldre enigmes, però que tenen una comprensió profunda de tota la teoria i són capaços d'iniciar àrees senceres de la creativitat. Necessitem tots dos, encara que el primer es mourà més ràpid.

Vaclav Sierpinski no va parlar mai dels seus èxits el 1920. Fins al 1939, definitivament s'havia de mantenir en secret, i després del 1945, els que van lluitar amb la Rússia soviètica no van gaudir de la simpatia de les autoritats d'aleshores. La meva convicció que calen científics, com un exèrcit, està demostrada: "per si de cas". Aquí hi ha el president Roosevelt trucant a Einstein:

El destacat matemàtic rus Igor Arnold va dir obertament i trist que la guerra va tenir una gran influència en el desenvolupament de les matemàtiques i la física (el radar i el GPS també tenien un origen militar). No entro en l'aspecte moral de l'ús de la bomba atòmica: aquí hi ha l'extensió de la guerra durant un any i la mort de diversos milions dels seus propis soldats: hi ha el patiment de civils innocents.

***

Fuig a zones conegudes - k. Molts de nosaltres vam jugar amb els codis, potser explorant, potser així. Els xifratges simples, basats en el principi de substitució de lletres per altres lletres o altres números, es trenquen habitualment si només captem algunes pistes (per exemple, endevinem el nom del rei). L'anàlisi estadística també ajuda avui. Pitjor, quan tot és canviant. Però el pitjor és quan no hi ha regularitat. Considereu el codi descrit a Les aventures del bon soldat Schweik. Preneu un llibre, per exemple, The Flood. Aquí teniu els suggeriments a la primera i a la segona pàgina.

Volem codificar la paraula "CAT". Obrim a la pàgina 1 i al segon següent. Trobem que a la pàgina 1, la lletra K apareix per primera vegada en el lloc 59. Trobem la paraula cinquanta-nou al contrari, l'altre costat. És una paraula "a". Ara la lletra O. A l'esquerra és la 16a paraula, i la setzena a la dreta és "Mr". La lletra T està en el lloc 95, si he comptat correctament, i la noranta-cinquena paraula de la dreta és "o". Així, CAT = 1 LORD O.

Un xifrat "inendevinable", encara que dolorosament lent tant per a l'encriptació com... per endevinar. Suposem que volem passar la lletra M. Podem comprovar si la codifiquem amb la paraula "Wołodyjowski". I després de nosaltres ja estan preparant una cel·la de presó. Només podem comptar amb un substitut! A més, la contraintel·ligència assenyala informes d'empleats secrets que des de fa temps els clients compren de bon grat el primer volum de The Flood.

El meu article és una contribució a aquesta tesi: fins i tot les idees més estranyes dels matemàtics poden trobar aplicació en una pràctica àmpliament entesa. Per exemple, és possible imaginar un descobriment matemàtic menys útil que la prova de divisibilitat per... per 47?

Quan ho necessitem a la vida? I si és així, serà més fàcil intentar separar-lo. Si divideix, doncs és bo, si no, doncs... en segon lloc és bo (sabem que no divideix).

Com compartir i per què

Després d'aquesta introducció, passem a: Coneixeu, lectors, algun signe de divisibilitat? Definitivament. Els nombres parells acaben en 2, 4, 6, 8 o zero. Un nombre és divisible per tres si la suma de les seves xifres és divisible per tres. De la mateixa manera, amb el signe de divisibilitat per nou, la suma dels dígits ha de ser divisible per nou.

Qui ho necessita? Mentiria si convencés al Lector que era bo per a qualsevol altra cosa que no fos... les tasques escolars. Bé, i una altra característica de la divisibilitat per 4 (i què és, lector? Potser l'utilitzaràs quan vulguis saber en quin any cau la propera Olimpíada...). Però la característica de la divisibilitat per 47? Això ja és un mal de cap. Sabrem mai si alguna cosa és divisible per 47? En cas afirmatiu, agafa una calculadora i mira.

Això. Tens raó, lector. I tanmateix, segueix llegint. Si us plau.

Prova de divisibilitat per 47: El nombre 100+ és divisible per 47 si i només si 47 és divisible per +8.

El matemàtic somriurà de satisfacció: "Vai, bonica". Però les matemàtiques són matemàtiques. L'evidència és important, i prestem atenció a la seva bellesa. Com demostrar el nostre tret? És molt senzill. Resta de 100 + el nombre 94 - 47 = 47 (2 -). Obtenim 100+-94+47=6+48=6(+8).

Hem restat un nombre que és divisible per 47, de manera que si 6 (+ 8) és divisible per 47, llavors també ho és 100 +. Però el nombre 6 és copprim a 47, el que significa que 6 (+ 8) és divisible per 47 si i només si és + 8. Final de la demostració.

A veure Alguns exemples.

8805685 és divisible per 47? Si realment ens interessa, ho sabrem abans només dividint-nos com ens van ensenyar a primària. D'una manera o altra, ara hi ha una calculadora a cada telèfon mòbil. Dividit? Sí, privat 187355.

Bé, a veure què ens diu el signe de divisibilitat. Desconnectem els dos últims dígits, els multipliquem per 8, afegim el resultat al “número truncat” i fem el mateix amb el número resultant.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Veiem que 94 és divisible per 47 (el quocient és 2), el que significa que el nombre original també és divisible. Genial. Però i si ens seguim divertint?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Ara hem de parar. Quaranta-set és divisible per 47, oi?

Realment hem d'aturar-nos? I si anem més enllà? Déu meu, pot passar qualsevol cosa... ometré els detalls. Potser només el principi:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Però, malauradament, és tan addictiu com mastegar llavors...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, quaranta-set. Va passar abans. Que segueix? . Mateix. Els números van en un bucle com aquest:

És realment interessant. Tants bucles.

Dues exemples següents.

Volem saber si 10017627 és divisible per 47. Per què necessitem aquest coneixement? Recordem el principi: ai del coneixement que no ajuda el coneixedor. El coneixement sempre està allà per alguna cosa. Serà per alguna cosa, però ara no ho explicaré. Uns quants comptes més:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Va canviar el seu oncle de destral a bastó". Què obtenim de tot això?

Bé, repetim el curs del procediment. És a dir, seguirem fent això (és a dir, la paraula “iterar”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Aturem el joc, dividim com a l'escola (o a la calculadora): 235 = 5 47. Bingo. El número original 10017627 és divisible per 47.

Bravo per nosaltres!

I si anem més enllà? Confia en mi, pots comprovar-ho.

I una dada més interessant. Volem comprovar si 799 és divisible per 47. Utilitzem la funció de divisibilitat. Desconnectem els dos últims dígits, multipliquem el nombre resultant per 8 i sumem el que queda:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Què tenim? És 799 divisible per 47 si i només si 799 és divisible per 47? Sí, és cert, però per això no calen matemàtiques!!! L'oli és oliós (almenys aquest oli és oliós).

Sobre la fulla, els pirates i el final de les bromes!

Dues històries més. On és el millor lloc per amagar una fulla? La resposta és òbvia: al bosc! Però com ho pots trobar llavors?

El segon el coneixem per llibres sobre pirates que llegim fa temps. Els pirates van fer un mapa del lloc on van enterrar el tresor. D'altres o la van robar o van guanyar la lluita. Però el mapa no indicava a quina illa estava destinat. I busca't tu mateix! Per descomptat, els pirates van fer front a això (tortura): els xifratges dels quals parlo també es poden extreure amb aquests mètodes.

Final de bromes. Lector! Creem un xifrat. Sóc un espia encobert i faig servir "Tècnic junior" com a bústia de contacte. Reenvia'm missatges xifrats de la següent manera.

Primer, convertiu el text en una cadena de números utilitzant el codi: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Com podeu veure, no fem servir diacrítics polonesos (és a dir, sense ą, ę, ć, ń, ó, ś) i q, v no polonesos, però la x no polonesa hi és per si de cas. Incloem altres 25 com a espai (espai entre paraules). Oh, el més important. Aplica el codi núm. 47.

Ja saps què significa això. Vas a veure un amic matemàtic.

Els ulls de l'amic es van eixamplar de sorpresa.

Respon amb orgull:

Un matemàtic et dota d'aquest tret... i ja saps que s'utilitza una funció d'aspecte discret per a l'encriptació

perquè aquest patró és una acció descrita

100+→+8.

Per tant, quan voleu saber què significa un número, com ara 77777777 en un missatge xifrat, feu servir la funció

100+→+8

fins que obtingueu un número entre 1 i 25. Ara mireu el codi alfanumèric explícit. A veure: 77777777 →... Us ho deixo com a tasca. Però a veure quina lletra 48 amaga? Anem a llegir:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Aleshores arribem al seu torn:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

El final no està a la vista. Només després de la seixantena (!) vegada apareixerà un número inferior a 25. Això és 3, el que significa que 48 és la lletra C.

I què ens aporta aquest missatge? (Vull recordar que utilitzem el codi número 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341 – XNUMX – XNUMX – XNUMX

Bé, penseu-ho, què és tan complicat, uns comptes. Hem començat. Principis dels 80. Regla coneguda:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Continua així:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Menja! La primera lletra del missatge és K. Uf, fàcil, però quant de temps trigarà?

Vegem també quants problemes hem de tenir amb el número 1234567. Només a la setzena vegada obtindrem un número inferior a 25, és a dir, 12. Així que 1234567 és L.

D'acord, es podria dir, però aquesta operació aritmètica és tan senzilla que programar-la en un ordinador trencarà immediatament el codi. Sí, és veritat. Són càlculs senzills per ordinador. idea amb xifrat públic i també es tracta de dificultar els càlculs a l'ordinador. Deixeu-ho funcionar durant almenys cent anys. Desxifrarà el missatge? No importa. No importarà durant molt de temps. Això és (més o menys) el que tracta els xifrats públics. Es poden trencar si treballes molt de temps... fins que les notícies ja no siguin rellevants.

 sempre ha donat a llum “contra-armes”. Tot va començar amb una espasa i un escut. Els serveis secrets paguen grans quantitats de diners als matemàtics dotats per inventar mètodes de xifratge que els ordinadors (inclosos els creats per nosaltres) no podran trencar al segle XIX.

segle XXII? No és tan difícil saber que ja hi ha molta gent al món que viurà en aquest bell segle!

Oh eh? Què passa si demano (a mi, l'oficial secret contactat pel "Tècnic jove") que xifri amb el codi número 23? O 17? Simple:

Que mai haguem d'utilitzar les matemàtiques per a aquests propòsits.

***

El títol de l'article és sobre poesia. Què té a veure amb això?

Com què? La poesia també xifra el món.

Com?

Pels seus mètodes, semblants als algebraics.