Premi Abel

Pocs lectors diran res del nom Abel. No, no es tracta del desgraciat jove assassinat pel seu propi germà Caín. Em refereixo al matemàtic noruec Niels Henrik Abel (1802–1829) i al premi que porta el seu nom que acaba d'atorgar (16 de març de 2016) l'Acadèmia Noruega de Ciències i cartes a Sir Andrew J. Wiles. Això compensa els matemàtics per haver estat abandonats per Alfred Nobel en el rànquing de categories del premi científic més important del món.

Encara que els matemàtics aprecien l'anomenat. Medalla Fields (oficialment considerat el llorer més alt del seu camp), només s'associa amb 15 mil. (no milions, milers!) de dòlars canadencs fins al guanyador Premis Abel es posa a la butxaca un xec de 6 milions de corones noruegues (uns 750 8 euros). Els premis Nobel reben 865 milions de SEK, o aproximadament XNUMX mil. euros - menys que els jugadors de tennis per guanyar un gran torneig. Hi ha diverses raons probables per les quals Alfred Nobel no va incloure els matemàtics entre els possibles guanyadors del premi. El testament de Nobel tractava dels "invents i descobriments" que aporten el major benefici a la humanitat, però probablement no teòrics, sinó pràctics. Les matemàtiques no es consideraven una ciència que pogués aportar beneficis pràctics a la humanitat.

Per què Abel

Qui era Niels Henrik Abel i per què era famós? Devia ser brillant, perquè tot i que va morir de tuberculosi amb només 27 anys, va aconseguir convertir-se en un fix permanent de les matemàtiques. Bé, ja a batxillerat ens ensenyen a resoldre equacions; primer grau, després quadrat, i de vegades cúbic. Ja fa quatre-cents anys, els científics italians van ser capaços de fer front equació quàrticafins i tot el que sembla innocent:

i de quin dels elements

Sí, els científics podrien haver fet això ja al segle XIX. No és difícil endevinar que es van tenir en compte les equacions de graus superiors. I res. Ningú ha tingut èxit en dos-cents anys. Niels Abel també va fallar. I llavors es va adonar que... potser no és possible en absolut. Es pot demostrar la impossibilitat de resoldre aquesta equació - o millor dit, expressant la solució en fórmules aritmètiques senzilles.

Va ser el primer de 2. anys (!) d'aquest tipus de raonaments: alguna cosa no es pot demostrar, alguna cosa no es pot fer. El monopoli d'aquestes demostracions pertany a les matemàtiques: les ciències pràctiques estan trencant les barreres cada cop més. L'any 1888, el president de la Comissió de Patents dels EUA va afirmar que "s'han d'esperar pocs invents en el futur, perquè ja s'ha inventat gairebé tot". Avui ens costa fins i tot riure'ns d'això... Però en matemàtiques, un cop demostrades, es perd. No es pot fer.

La història divideix el descobriment que he descrit Niels Abel i Evarista Galois, tots dos com a "escollits dels déus" van morir abans dels trenta anys, menyspreats pels seus contemporanis. Niels Abel és un dels pocs matemàtics noruecs de gran renom (en realitat dos, l'altre Sophus Lee, 1842-1899: els noms no sonen escandinaus, però tots dos eren noruecs nadius).

Els noruecs estan en desacord amb els suecs; malauradament, això és comú entre els pobles veïns. Un dels motius de l'establiment del premi Abel per part dels noruecs va ser el desig de mostrar als seus compatriotes Alfred Nobel: si us plau, no som pitjor.

Perseguint una entrada de marge inexistent

Aquí teniu Niels Henrik Abel per a vosaltres. Ara sobre el guanyador del premi, un anglès de 63 anys (que viu als EUA). La seva gesta l'any 1993 només es podia comparar amb escalar l'Everest, pujar a la lluna o alguna cosa així. Qui és senyor Andrew Wiles? Si mireu la llista de les seves publicacions i els diferents índexs de citacions possibles, serà un bon científic: n'hi ha milers. No obstant això, és considerat un dels més grans matemàtics. La seva recerca es refereix a la teoria dels nombres i utilitza relacions amb geometria algebraica Oraz teoria de la representació.

Es va fer famós per resoldre un problema completament irrellevant des del punt de vista de les matemàtiques Demostració de l'últim teorema de Fermat (Per a aquells que no sàpiguen què vull dir, vegeu més avall). Tanmateix, el valor real no era la solució en si, sinó la creació d'un nou mètode d'investigació que es va utilitzar per resoldre molts altres problemes importants.

És impossible no reflexionar sobre el sentit de determinades qüestions, sobre la jerarquia dels èxits humans. Centenars de milers de joves somien amb donar cops de peu a una pilota millor que altres, desenes de milers volen exposar-se als vents de l'Himàlaia, saltar de goma en un pont, fer sons que anomenen cant, embotir menjar poc saludable en altres... o resoldre'ls. una equació innecessària per a ningú. El primer conqueridor de l'Everest, Sir Edward Hillary, va respondre directament a la pregunta per què hi va anar: "Perquè ho és, perquè l'Everest és!" L'autor d'aquestes paraules va ser matemàtic tota la vida, va ser la meva recepta de vida. L'únic correcte! Però acabem amb aquesta filosofia. Tornem al camí saludable de les matemàtiques. Per què tant enrenou sobre el teorema de Fermat?

Suposo que tots sabem què són nombres primers. Segurament tothom entén la frase "descompondre en factors primers", sobretot quan el nostre fill converteix els rellotges en peces.

Pierre de Fermat (1601-1665) va ser un advocat de Tolosa, però també es va ocupar de les matemàtiques com a aficionat, i amb força bons resultats, perquè va passar a la història de les matemàtiques com l'autor de molts teoremes de teoria i anàlisi de nombres. Tenia el costum de posar les seves observacions i comentaris als marges dels llibres que llegia. I és així: cap al 1660 va escriure en un dels marges:

Aquí teniu Pierre de Fermat per a vosaltres. Des de la seva època (i deixeu-me recordar que el valent noble gascó d'Artagnan vivia en aquella època a França, i Andrzej Kmitsich va lluitar contra Boguslav Radziwill a Polònia), centenars, i potser fins i tot milers de grans i petits matemàtics van intentar reconstruir sense èxit el raonament perdut d'un aficionat brillant. Encara que avui estem segurs que la demostració de Fermat no pot ser correcta, era molest que la simple pregunta de si equació xⁿ + uⁿ = dⁿ, n> 2 té solucions en nombres naturals? pot ser tan difícil.

Molts dels matemàtics que van venir a treballar el 23 de juny de 1993, van trobar al seu correu electrònic (que aleshores era un invent fresc i encara càlid) un missatge concis que deia: "Rumors des de Gran Bretanya: Wiles prova Fermat". L'endemà, la premsa diària va escriure sobre això, i l'última de la sèrie de conferències de Wiles va reunir la premsa, la televisió i els fotoperiodistes, com en una conferència d'un famós jugador de futbol.

Qualsevol que llegeixi "Satanàs del setè grau" de Kornel Makuszyński, segurament recorda el que va fer el senyor Iwo Gąsowski, el germà del professor d'història el sistema d'interrogants dels estudiants descobert per Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski només estava resolent l'equació de Fermat, perdent temps, propietats i deixant de banda la seva llar:

Finalment, el senyor Iwo va entendre que no asseguraria la felicitat de la família amb els càlculs de poders i es va rendir. A Makuszyński no li agradava la ciència, però tenia raó amb el senyor Gąsowski. Iwo Gąsowski va cometre un error fonamental. No pretenia ser un especialista en el veritable sentit de la paraula, sinó que actuava com un aficionat. Andrew Wiles és un professional.

La història de la lluita contra l'últim teorema de Fermat és interessant. Es pot veure de manera senzilla que n'hi ha prou amb resoldre'ls per als exponents que són nombres primers. Per a n = 3 la solució es va donar el 1770. Leonard Euler, per a n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) i Adrienne Marie Legendre el 1830, i a n = 7 – Gabriel Coix el 1840. Al segle XNUMX, el matemàtic alemany va dedicar la major part de la seva energia al problema de Fermat Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Encara que no va aconseguir l'èxit final, va demostrar molts casos especials i va descobrir moltes propietats importants dels nombres primers. Gran part de l'àlgebra moderna, l'aritmètica teòrica i la teoria algebraica dels nombres deuen el seu origen al treball de Kummer sobre el teorema de Fermat.

En resoldre el problema de Fermat mitjançant mètodes de la teoria clàssica de nombres, es van dividir en dos casos diferents de complexitat: el primer, quan suposem que el producte xyz és copprim amb exponent n, i el segon, quan el nombre z és igualment divisible per exponent. En el segon cas, se sabia que no hi havia solucions fins a n = 150, i en el primer cas, fins a n = 000 (Lehmer, 6). Això significava que un possible contraexemple seria impossible en tot cas: requeriria bitllets de milers de milions de dígits per obtenir-lo.

Aquí teniu una vella història per a vosaltres. A principis de 1988, en el món matemàtic se sabia que Yoichi Miyaoka va demostrar alguna desigualtat, de la qual es va seguir el següent: si només l'exponent n és prou gran, aleshores l'equació de Fermat certament no té solucions. En comparació amb el resultat una mica anterior de l'alemany Gerd Faltings (1983) El resultat de Miyaoka va significar que si hi ha solucions, aleshores (en termes de proporcionalitat) només n'hi ha un nombre finit. Així, la solució del problema de Fermat es redueix a enumerar el final de molts casos. Malauradament, quants d'ells no es coneixien: els mètodes utilitzats per Miyaoka no permetien estimar quants ja estaven "en ordre".

Val a dir aquí que durant molts anys l'estudi del teorema de Fermat es va dur a terme no en el marc de la teoria pura dels nombres, sinó en el marc de la geometria algebraica, una disciplina matemàtica derivada de l'àlgebra i una extensió de la geometria analítica cartesiana, i ara estenent-se gairebé per tot arreu: des dels fonaments de les matemàtiques (teoria topoi a la lògica), passant per l'anàlisi matemàtica (mètodes cohomològics, fabes funcionals), la geometria clàssica, fins a la física teòrica (faixos vectorials, espais de torsió, solitons).

Quan els honors no importen

També és difícil no estar trist pel destí del matemàtic, la contribució del qual a la solució del problema de Fermat és molt significativa. Estic parlant d'ArakielSuren Yurievitx Arakelov, matemàtic ucraïnès d'arrel armènia), que a principis dels anys 80, quan feia quart any, va crear l'anomenat. teoria de la intersecció sobre varietats aritmètiques. Aquestes superfícies estan plenes de forats i incomplets, i les corbes que hi ha sobre elles poden desaparèixer de sobte, per dir-ho, i després reaparèixer. La teoria de la intersecció explica com calcular el grau d'intersecció d'aquestes corbes. Va ser l'eina principal utilitzada per Faltings i Miyaoka en el seu treball sobre el problema de Fermat.

Una vegada Arakelov va ser convidat a presentar els seus resultats en un gran congrés matemàtic. Tanmateix, com que era crític amb el sistema soviètic, se li va negar el permís per marxar. Aviat va ser reclutat a l'exèrcit. Va demostrar desafiant que estava en contra del servei militar en general per raons pacifistes. Segons vaig saber per fonts força dubtoses, suposadament va ser enviat a un hospital psiquiàtric tancat, on va estar aproximadament un any. Com sabeu, aparentment amb finalitats polítiques, els psiquiatres soviètics van assenyalar un tipus especial d'esquizofrènia (en anglès de, que significa "lent", en rus esquizofrènia lenta).

És difícil dir al cent per cent com va ser realment, perquè les meves fonts d'informació no són gaire fiables. Pel que sembla, després de sortir de l'hospital, Arakelov va passar diversos mesos en un monestir de Zagorsk. Actualment viu a Moscou amb la seva dona i els seus tres fills. Ell no fa matemàtiques. Andrew Wiles està ple d'honors i diners.

Des del punt de vista d'una societat europea ben alimentada, el pas també és incomprensible Grigory Perelman, que el 2002 va resoldre el problema topològic més famós del segle XX",Conjectura de PoinariI després va rebutjar tots els premis possibles. Primer la Medalla Fields, esmentada al principi, que els matemàtics consideren equivalent al Premi Nobel, i després el premi d'un milió de dòlars per resoldre un dels set problemes matemàtics més importants que van sobrar del segle XX. “Els altres eren millors, no m'importen els honors, perquè les matemàtiques són la meva afició, tinc menjar i cigarrets”, va dir més o menys al món astorat.

Èxit després de més de 300 anys

L'últim teorema de Fermat va ser sens dubte el problema més famós i espectacular de les matemàtiques. Va estar obert durant més de tres-cents anys, formulat d'una manera molt clara i llegible i teòricament era possible atacar per qualsevol, i en l'era dels ordinadors era relativament fàcil intentar batre un altre rècord d'estimació de possibles solucions. En la història de les matemàtiques, aquest tema, a través del seu paper inspirador, va tenir un paper de "formació cultural" molt important, contribuint a l'aparició de disciplines matemàtiques senceres. És estrany perquè el problema en si és relativament trivial i la mera informació sobre la manca d'arrels de l'equació de Fermat no va contribuir gaire al tresor general del coneixement matemàtic.

El 1847, Gabriel Lamet (1795-1870) va donar una conferència a l'Acadèmia Francesa de Ciències anunciant la solució del problema de Fermat. Tanmateix, immediatament es va notar un error subtil en el raonament. Es va basar en l'ús no autoritzat del teorema de descomposició únic. Recordem des de l'escola que cada nombre té un desglossament únic en factors primers, per exemple, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. El nombre 503 no té divisors (excepte l'1 i el mateix 503), de manera que no es pot ampliar més.

La propietat d'unicitat de la distribució la posseeixen els nombres enters positius, però entre altres conjunts numèrics no cal que ho siguin. Per exemple, per als números de caràcters

tenim 36 = 2²⋅2³ ,però també

Mitjançant l'anàlisi de la demostració de Lame, Kummer va poder demostrar la validesa de la conjectura de Fermat per a alguns exponents de p. Els va anomenar primers regulars. Aquest va ser el primer pas important cap a una prova completa. Al voltant del teorema de Fermat ha sorgit un mite. "O potser és encara pitjor, potser ni tan sols pots demostrar que és possible o impossible de resoldre?"

Però des dels anys 80, tothom sentia que l'objectiu estava a prop. Recordo que el mur de Berlín seguia en peu, i ja escoltava conferències sobre "aviat, en un moment". Bé, algú havia de ser el primer. Andrew Wiles va acabar la seva conferència amb una flegma anglesa: "Crec que Fermat ho demostra", i va passar un temps abans que l'auditori atapeït es va adonar del que havia passat: centenars de matemàtics del món van treballar intensament en un problema matemàtic de 330 anys. regiment i innombrables aficionats, com Ivo Gonsovsky de les novel·les de Makushinsky. I Andrew Wiles va tenir l'honor de donar la mà a Harald V, rei de Noruega. Potser no va fer cas de la modesta dotació del premi Abel, d'uns centenars de milers d'euros, per què necessita tants diners?