cinc vegades a l'ull
A finals de 2020 es van celebrar diversos actes a universitats i escoles, ajornats a partir del ... març. Una d'elles va ser la "celebració" del dia del pi. En aquesta ocasió, el 8 de desembre, vaig donar una conferència a distància a la Universitat de Silèsia, i aquest article és un resum de la conferència. Tota la festa va començar a les 9.42, i la meva conferència està prevista per a les 10.28. D'on ve tanta precisió? És senzill: 3 vegades pi és aproximadament 9,42, i π a la segona potència és aproximadament 2, i l'hora 9,88 a la potència 9 és de 88 a la 10...
El costum d'honorar aquest número, expressa la relació entre la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre i de vegades s'anomena constant d'Arquimedes (així com a les cultures de parla alemanya), prové dels EUA (Vegeu també: ). 3.14 de març "Estil americà" a les 22:22, d'aquí la idea. L'equivalent polonès podria ser el 7 de juliol perquè la fracció 14/XNUMX s'aproxima bé a π, cosa que... Arquímedes ja sabia. Bé, el XNUMX de març és el millor moment per a esdeveniments secundaris.
Aquestes tres i catorze centèsimes són un dels pocs missatges matemàtics que ens han quedat de l'escola de tota la vida. Tothom sap què significa això"cinc vegades a l'ull". Està tan arrelat a la llengua que és difícil expressar-lo de manera diferent i amb la mateixa gràcia. Quan vaig preguntar al taller de reparació de cotxes quant podria costar la reparació, el mecànic s'ho va pensar i va dir: "cinc vegades uns vuit-cents zlotys". Vaig decidir aprofitar la situació. "Vols dir una aproximació aproximada?". El mecànic devia pensar que havia escoltat malament, així que va repetir: "No sé exactament quant, però cinc vegades a ull serien 800".
.
De què va? L'ortografia anterior a la Segona Guerra Mundial feia servir "no" junts, i ho vaig deixar allà. No estem davant d'una poesia innecessàriament grandiloqüent, encara que m'agrada la idea que "un vaixell daurat bombeja la felicitat". Pregunteu als alumnes: Què vol dir aquest pensament? Però el valor d'aquest text rau en un altre lloc. El nombre de lletres de les paraules següents són els dígits de l'extensió pi. Fem una ullada:
Π 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
El 1596, un científic holandès d'origen alemany Ludolf van Seulen va calcular el valor de pi amb 35 decimals. Després aquestes figures van ser gravades a la seva tomba. Va dedicar un poema al número pi i al nostre premi Nobel, Vislava Shimborska. Szymborska estava fascinat per la no periodicitat d'aquest número i el fet que amb la probabilitat 1 cada seqüència de dígits, com el nostre número de telèfon, hi apareixerà. Tot i que la primera propietat és inherent a cada nombre irracional (que hauríem de recordar de l'escola), la segona és un fet matemàtic interessant que és difícil de demostrar. Fins i tot pots trobar aplicacions que ofereixen: dóna'm el teu número de telèfon i et diré on és en pi.
On hi ha rodonesa, hi ha son. Si tenim un llac rodó, caminar-hi és 1,57 vegades més llarg que nedar. Això sí, això no vol dir que nedem entre una i mitja o dues vegades més lent del que passarem. Vaig compartir el rècord mundial dels 100 metres amb el rècord del món dels 100 metres. Curiosament, en homes i dones, el resultat és gairebé el mateix i és de 4,9. Nedem 5 vegades més lent que correm. El rem és completament diferent, però un repte interessant. Té una història força llarga.
Fugint del malvat que perseguia, el guapo i noble Bon va navegar cap al llac. El dolent corre per la riba i espera que ella el faci aterrar. Per descomptat, corre més ràpid que Dobry rema, i si corre sense problemes, Dobry és més ràpid. Per tant, l'única oportunitat per al Mal és treure el Bé de la costa; un tir precís d'un revòlver no és una opció, perquè. El bé té informació valuosa que el mal vol conèixer.
Good s'adhereix a l'estratègia següent. Travessa nedant el llac, acostant-se a poc a poc a la riba, però sempre intentant estar al costat oposat del Malvat, que corre a l'atzar cap a l'esquerra i després cap a la dreta. Això es mostra a la figura. Sigui la posició inicial del mal Z1, i Dobre és el mig del llac. Quan Zly es mou a Z1, Dobro doplyvët do D.1quan Bad està en Z2, bo per D2. Fluirà en ziga-zaga, però complint la regla: tan lluny com sigui possible de Z. Tanmateix, a mesura que s'allunya del centre del llac, Good s'ha de moure en cercles cada cop més grans, i en algun moment no pot Adherir-se al principi "estar a l'altre costat del mal". Llavors va remar amb totes les seves forces fins a la riba, amb l'esperança que el Maligne no passaria per alt el llac. El Good tindrà èxit?
La resposta depèn de la rapidesa amb què Good pot remar en relació amb el valor de les cames de Bad. Suposem que l'home dolent corre a una velocitat s vegades la velocitat de l'home bo al llac. En conseqüència, el cercle més gran, on el Bé pot remar per resistir el Mal, té un radi una vegada més petit que el radi d'un llac. Així doncs, al dibuix que tenim. Al punt W, la nostra espècie comença a remar cap a la costa. Això ha d'anar
amb velocitat
Necessita temps.
Wicked persegueix tots els seus millors peus. Ha de completar la meitat del cercle, que li portarà segons o minuts, segons les unitats seleccionades. Si això és més que un final feliç:
El bo anirà. Els comptes senzills mostren què hauria de ser. Si l'home dolent corre més de pressa que 4,14 vegades l'home bo, no acaba bé. I aquí també intervé el nostre número pi.
El que és rodó és bonic. Mirem la foto de tres plats decoratius: els tinc després dels meus pares. Quina és l'àrea del triangle curvilini entre ells? Aquesta és una tasca senzilla; la resposta està a la mateixa foto. No ens sorprèn que aparegui a la fórmula; després de tot, on hi ha rodonesa, hi ha pi.
Vaig fer servir una paraula possiblement desconeguda:. Aquest és el nom del nombre pi a la cultura de parla alemanya, i tot això gràcies als holandesos (en realitat, un alemany que vivia als Països Baixos, la nacionalitat no importava en aquell moment), Ludolf de Seülen... El 1596 g. va calcular 35 dígits de la seva expansió a decimal. Aquest rècord es va mantenir fins al 1853, quan Guillem Rutherford comptava amb 440 seients. El titular del registre per als càlculs manuals és (probablement per sempre) William Shanksque, després de molts anys de treball, va publicar (el 1873) extensió a 702 dígits. Només l'any 1946, es va trobar que els darrers 180 dígits eren incorrectes, però es va mantenir així. 527 correcte. Va ser interessant trobar l'error en si. Poc després de la publicació del resultat de Shanks, van sospitar que "alguna cosa anava malament": hi havia, sospitosament, pocs sets en desenvolupament. La hipòtesi encara no provada (desembre de 2020) estableix que tots els números haurien d'aparèixer amb la mateixa freqüència. Això va fer que D.T. Ferguson revisés els càlculs de Shanks i trobés l'error "de l'aprenent".
Més tard, les calculadores i els ordinadors van ajudar la gent. El titular actual del rècord (desembre de 2020) és Timothy Mullican (50 bilions de decimals). Els càlculs van trigar... 303 dies. Juguem: quant espai ocuparia aquest número, imprès en un llibre estàndard. Fins fa poc, el "costat" imprès del text era de 1800 caràcters (30 línies per 60 línies). Reduïm el nombre de caràcters i els marges de les pàgines, embotem 5000 caràcters per pàgina i imprimim llibres de 50 pàgines. Així, XNUMX bilions de caràcters portarien deu milions de llibres. No està malament, oi?
La pregunta és, quin sentit té aquesta lluita? Des d'un punt de vista purament econòmic, per què hauria de pagar el contribuent per tal "entreteniment" dels matemàtics? La resposta no és difícil. Primer, de Seülen van inventar espais en blanc per als càlculs, llavors útil per a càlculs logarítmics. Si li haguessin dit: si us plau, construeix espais en blanc, hauria contestat: per què? De la mateixa manera comanda:. Com sabeu, aquest descobriment no va ser del tot casual, però tanmateix un subproducte d'una investigació d'un altre tipus.
En segon lloc, llegim el que escriu Timothy Mullican. Aquí teniu una reproducció de l'inici de la seva obra. El professor Mullican està en ciberseguretat, i pi és una afició tan petita que acaba de provar el seu nou sistema de ciberseguretat.
I que 3,14159 en enginyeria és més que suficient, això és un altre tema. Fem un càlcul senzill. Júpiter es troba a 4,774 Tm del Sol (teràmetre = 1012 metres). Per calcular la circumferència d'un cercle d'aquest tipus amb un radi amb una precisió absurda d'1 mil·límetre, n'hi hauria prou amb prendre π = 3,1415926535897932.
La foto següent mostra un quart de cercle de maons Lego. Vaig utilitzar 1774 pastilles i era d'uns 3,08 pi. No és el millor, però què esperar? Un cercle no pot estar format per quadrats.
Exactament. Se sap que el nombre pi és cercle quadrat - un problema matemàtic que fa més de 2000 anys que espera la seva solució - des de l'època grega. Es pot utilitzar una brúixola i una regla per construir un quadrat l'àrea del qual sigui igual a l'àrea del cercle donat?
El terme "quadrat d'un cercle" ha entrat a la llengua parlada com a símbol d'alguna cosa impossible. Prem la tecla per preguntar, és una mena d'intent d'omplir la trinxera d'hostilitat que separa els ciutadans del nostre bell país? Però ja evito aquest tema, perquè probablement només em sento en matemàtiques.
I de nou el mateix: la solució al problema de quadrar el cercle no va aparèixer de tal manera que l'autor de la solució, Charles Lindemann, el 1882 es va constituir i finalment ho va aconseguir. Fins a cert punt sí, però va ser fruit d'un atac des d'un front ampli. Els matemàtics han après que hi ha diferents tipus de nombres. No només nombres enters, racionals (és a dir, fraccions) i irracionals. La incommensurabilitat també pot ser millor o pitjor. Podem recordar de l'escola que el nombre irracional és √2, un nombre que expressa la relació entre la longitud de la diagonal d'un quadrat i la longitud del seu costat. Com qualsevol nombre irracional, té una extensió indefinida. Permeteu-me que us recordi que l'expansió periòdica és una propietat dels nombres racionals, és a dir. nombres enters privats:
Aquí es repeteix indefinidament la seqüència de nombres 142857. Per a √2 això no passarà, això és part de la irracionalitat. Però pots:
(la fracció continua per sempre). Aquí veiem un patró, però d'un altre tipus. Pi ni tan sols és tan comú. No es pot obtenir resolent una equació algebraica, és a dir, aquella en la qual no hi ha ni arrel quadrada, ni logaritme, ni funcions trigonomètriques. Això ja demostra que no és construïble: dibuixar cercles condueix a funcions quadràtiques, i línies, rectes, a equacions de primer grau.
Potser em vaig desviar de la trama principal. Només el desenvolupament de totes les matemàtiques va permetre tornar als orígens: a les antigues belles matemàtiques dels pensadors que ens van crear la cultura europea del pensament, que avui és tan dubtosa per alguns.
Dels molts patrons representatius, n'he escollit dos. El primer d'ells l'associem amb el cognom Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Però era conegut (model, no Leibniz) per l'estudiós hindú medieval Madhava del Sangamagram (1350-1425). La transferència d'informació en aquell moment no va ser genial: les connexions a Internet sovint eren defectuoses i no hi havia bateries per als telèfons mòbils (perquè encara no s'havia inventat l'electrònica!). La fórmula és bonica, però inútil per als càlculs. A partir d'un centenar d'ingredients, "només" s'obté 3,15159.
està una mica millor La fórmula de Viète (la de les equacions de segon grau), i la seva fórmula és fàcil de programar perquè el següent terme del producte és l'arrel quadrada de l'anterior més dos.
Sabem que el cercle és rodó. Podem dir que aquesta és una ronda del 100 per cent. El matemàtic preguntarà: pot alguna cosa no ser rodó a l'1 per cent? Pel que sembla, es tracta d'un oxímoron, una frase que conté una contradicció oculta, com, per exemple, el gel calent. Però intentem mesurar com de rodones poden ser les formes. Resulta que una bona mesura ve donada per la següent fórmula, en la qual S és l'àrea i L és la circumferència de la figura. Descobrim que el cercle és realment rodó, que el sigma és 6. L'àrea del cercle és la circumferència. Introduïm... i veiem què és correcte. Què tan rodó és el quadrat? Els càlculs són igual de senzills, ni els donaré. Preneu un hexàgon regular inscrit en un cercle amb un radi. El perímetre és òbviament XNUMX.
polonès
Què tal un hexàgon normal? La seva circumferència és de 6 i la seva àrea
Així ho tenim
que és aproximadament igual a 0,952. L'hexàgon és més del 95% "rodona".
S'obté un resultat interessant en calcular la rodonesa d'un estadi esportiu. Segons les regles de la IAAF, les rectes i corbes han de tenir una longitud de 40 metres, encara que es permeten desviacions. Recordo que l'estadi Bislet d'Oslo era estret i llarg. Escric "era" perquè fins i tot hi vaig córrer (per a un aficionat!), Però fa més de XNUMX anys. Fem una ullada:
Si l'arc té un radi de 100 metres, el radi d'aquest arc és de metres. L'àrea de la gespa és de metres quadrats, i l'àrea exterior (on hi ha trampolines) suma metres quadrats. Connectem això a la fórmula:
Llavors, la rodonesa d'un estadi esportiu té alguna cosa a veure amb un triangle equilàter? Perquè l'alçada d'un triangle equilàter és el mateix nombre de vegades que el costat. És una coincidència aleatòria de números, però és agradable. M'agrada. I els lectors?
Bé, està bé que sigui rodó, encara que alguns s'oposin perquè el virus que ens afecta a tots és rodó. Almenys així ho dibuixen.
